Рис. 12.1.

[3π/2; 5π/2], [−5π/2; −3π/2],. . . — одним словом, на всех отрезках [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk], где k Z, и убывает на всех отрезках

[π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], где n Z.

Задача 11.6. На каких отрезках возрастает и на каких убывает функция y = cos x?

Задача 11.8. Расположите в порядке возрастания: sin 1, cos 2, sin 3, cos 4, sin 5, cos 6.

§ 12. Графики тангенса и котангенса

Построим график функции y = tg x. Для начала построим его для чисел x, принадлежащих интервалу (−π/2; π/2).

Если x = 0, то tg x = 0; когда x возрастает от 0 до π/2, tg x тоже возрастает — это видно, если посмотреть на ось тангенсов (рис. 12.1а). Когда x приближается к π/2, оставаясь меньше

60

Рис. 12.2. y = tg x.

π/2, значение tg x возрастает (точка M на рис. 12.1а убегает все выше) и может, очевидно, стать сколь угодно большим положительным числом. Аналогично, когда x убывает от 0 до −π/2, tg x становится отрицательным числом, абсолютная величина которого возрастает при приближении x к −π/2. При x = π/2 или −π/2 функция tg x не определена. Стало быть, график y = tg x при x (−π/2; π/2) выглядит примерно как на рис. 12.1б.

Вблизи начала координат наша кривая близка к прямой y = x x: ведь для малых острых углов верно приближенное равнество tg x ≈ x. Можно сказать, что прямая y = x касается графика функции y = tg x в начале координат. Кроме того, кривая на рис 12.1б симметрична относительно начала координат. Это объясняется тем, что функция y = tg x нечетная, то есть выполнено тождество tg(−x) = − tg x.

Чтобы построить график функции y = tg x для всех x, вспомним, что tg x — периодическая функция с периодом π. Стало быть, чтобы получить полный график функции y = tg x, надо повторить бесконечно много раз кривую рис. 12.1б, перенося ее вдоль оси абсцисс на расстояния πn, где n — целое число. Окончательный вид графика функции y = tg x — на рис. 12.2.

По графику мы в очередной раз видим, что функция y = tg x

61

Рис. 12.3. y = ctg x.

не определена при x = π/2 + πn, n Z, то есть при тех x, при которых cos x = 0. Вертикальные прямые с уравнениями x = π/2, 3π/2,. . . , к которым приближаются ветви графика, называются асимптотами графика.

На том же рис. 12.2 мы изобразили решения уравнения tg x = a.

Построим график функции y = ctg x. Проще всего, воспользовавшись формулой приведения ctg x = tg(π/2 − x), получить этот график из графика функции y = tg x с помощью преобразований наподобие тех, что мы описывали в предыдущем параграфе. Результат — на рис. 12.3

Задача 12.1. График функции y = ctg x получается из графика функции y = tg x с помощью симметрии относительно некоторой прямой. Какой именно? Есть ли другие прямые с указанным свойством?

Задача 12.2. Как выглядит уравнение прямой, касающейся графика функции y = ctg x в точке с координатами (π/2; 0)?

Задача 12.3. Сравните числа: а) tg(13π/11) и tg 3,3π; б) tg 9,6π и ctg(−11,3π).

62

Задача 12.4. Расположите числа в порядке возрастания: tg 1, tg 2, tg 3, tg 4, tg 5.

Задача 12.5. Постройте графики функций:

Задача 12.7. Постройте график функции y = arctg x + arctg(1/x).

§ 13. Чему равно sin x + cos x?

В этом параграфе мы попытаемся решить такую задачу: какое самое большое значение может принимать выражение sin x+cos x?

Ясно, что sin x+ cos x 6 2 при всех x: ведь как sin x, так и cos x не превосходят 1. Впрочем, значения 2 ни при каком x получиться не может: чтобы так вышло, нужно, чтобы sin x и cos x оба равнялись 1, а это невозможно, поскольку формула sin2 x + cos2 x = 1 говорит нам, что когда sin x = 1, тогда cos x = 0 (и вообще, что когда sin x велик, тогда cos x мал). Хорошо было бы найти такое x, для которого оба слагаемых как бы уравновесили друг друга: и то, и другое было бы не слишком велико. Советуем вам, прежде чем читать дальше, поискать такое x с помощью таблицы из § 3.

Если вы правильно считали, у вас должно было выйти, что из всех x, входящих в эту таблицу, наибольшее значение sin x + cos x

получается при x, близких к 45◦, или, в радианной мере, к π/4.

√

Если x = π/4, точное значение sin x+cos x равно 2. Оказывается, что наш результат, полученный экспериментальным путем, и в

самом деле верен: при всех x верно неравенство sin x + cos x 6

√ √

2, так что 2 — самое большое из значений, принимаемых этим выражением.

У нас еще не хватает средств, чтобы доказать это неравенство наиболее естественным способом. Пока что мы покажем, как свести его к задаче по планиметрии.

63

Рис. 13.1.

Если 0 < x < π/2, то sin x и cos x — катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 и острым углом x (рис. 13.1).

Поэтому наша задача переформулируется так: доказать, что сумма длин катетов прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 будет максимальной, если этот треугольник — равнобедренный.

Задача 13.1. Докажите это утверждение.

Так как у равнобедренного прямоугольного треугольника с ги-

√

потенузой 1 сумма длин катетов равна 2√, из результата этой задачи вытекает неравенство sin x + cos x 6 2 для всех x, лежащих в интервале (0; π/2). Отсюда уже нетрудно заключить, что это неравенство выполнено и вообще для всех x.

Результат задачи 13.1 верен не только для прямоугольных треугольников.

Задача 13.2. Докажите, что среди всех треугольников с данными величинами стороны AC и угла B наибольшая сумма AB + BC будет у равнобедренного треугольника с основанием AC.

Вернемся к тригонометрии.

Задача 13.3. Пользуясь таблицей синусов из § 3, постройте по точкам график функции y = sin x + cos x.

Указание. Не забудьте, что x должен быть выражен в радианах; для значений x за пределами отрезка [0; π/2] воспользуйтесь формулами приведения.

Если вы все сделали правильно, у вас должна была получиться кривая, похожая на синусоиду. Позже мы увидим, что эта кривая не просто похожа, а является синусоидой. Научимся мы также находить и наибольшие значения таких выражений, как 3 sin x + 4 cos x (кстати, график функции y = 3 sin x + 4 cos x тоже является синусоидой!).

64