Изложенный нами способ нахождения решения линейного неопределенного уравнения с целыми коэффициентами называется алгоритмом Евклида.

Задача 25.5. Для каких целых k существует такое целое n, что

7k − 19 = 5n?

Задача 25.6. Решите уравнения в целых числах:

а) 17x + 19y = 1; б) 26x − 78y = 143; в*) 7x2 − 4y = 5.

Задача 25.7. При решении в целых числах уравнения 166n−44k = = 6 нам пришлось ввести помимо n и k четыре дополнительные переменные (t, s, v и u). Приведите пример неопределенного уравнения вида ax + by = c, в котором a и b — двузначные числа, для решения которого по изложенному методу надо ввести восемь дополнительных переменных. Попробуйте также доказать, что большего количества дополнительных переменных при двузначных a и b никогда не потребуется.

§ 26. Как решать тригонометрические неравенства

Повторить: § 6. Определение тригонометрических функций. § 11. Графики синуса и косинуса.

Мы начнем с простейших неравенств, к которым любое тригонометрическое неравенство в конечном счете сводится.

Теперь можно записать множество чисел, соответствующихРис. 26.1. точкам на дуге P Q. Ясно, что это множество содержит интервал

155

(π/6; 5π/6) (π/6 соответствует точке P , 5π/6 — точке Q), а вообще наше множество состоит из всех интервалов (π/6 + 2πk; 5π/6 + 2πk), где k — целое: ведь если точке на тригонометрической окружности соответствует число x, то ей же соответствуют и все числа вида x + 2πk (k Z) (рис. 26.2).

Рис. 26.2.

Ответ к неравенству можно записать так:

выбрать на числовой оси какой-нибудь отрезок, соответствующий этой дуге, и тогда останется

какое-нибудь число, соответствующее одному из концов дуги. Очевидно, точке P соответствует arcsin 13 . Раз это число выбрано, выбор числа, соответствующего другому концу, уже предопределен. Чтобы найти это число, надо сдвинуться из точки arcsin 13 на числовой оси в отрицательном направлении на расстояние, равное длине дуги P Q. Точке O на окружности соответствует ноль, точке B — число −π, а точке Q — число, расположенное еще на arcsin 13 левее, то есть −π − arcsin 13 . Стало быть, один из отрезков, соответствующих дуге P Q, будет h−π−arcsin 13 ; arcsin 13 i, а ответом к неравенству sin x 6 1/3 будет

156

При решении простейших тригонометрических неравенств можно также пользоваться не тригонометрическим кругом, а графиками. Например, чтобы решить то же неравенство sin x 6 1/3, достаточно отметить на числовой оси такие точки, что лежащие над ними точки графика y = sin x имеют ординату не более 1/3 (рис. 26.5). По этому рисунку легко записать ответ.

При оформлении решений простейших тригонометрических неравенств не надо записывать рассуждений наподобие тех, что мы проводили в этих примерах: достаточно рисунка наподобие рис. 26.3 и ответа. Можно также нарисовать рисунок наподобие рис. 26.5 и опять же записать ответ.

Задача 26.1. Решите неравенства:

157

Решение. Мы применим «метод интервалов», который должен быть вам знаком по решению рациональных неравенств. Рецепт таков: надо на числовой оси отметить те точки, в которых обращаются в нуль числитель и знаменатель; на каждом из интервалов, на которые делится этими точками числовая ось, знак левой части будет постоянен, и останется только записать ответ как объединение интервалов с нужным знаком. В случае тригонометрических неравенств точек и интервалов будет, как правило, бесконечно много, однако они будут периодически повторяться, поэтому достаточно все проделать на отрезке длиной в период.

Внашем случае наименьшим периодом числителя будет 2π,

азнаменателя 4π. Будем поэтому рассматривать знак левой части на отрезке [0; 4π]: его длина равна 4π, а это число служит периодом как числителя, так и знаменателя.

Легко видеть, что на отрезке [0; 4π] числитель обращается в

записать в таблице (точки, в которых знаменатель обращается в нуль, мы в интервалы не включили).

159