В треугольнике со сторонами a, b и c длина медианы, проведенной к стороне a, равна

1 p

2

2b2 + 2c2 − a2.

В задаче 14.4 мы предложим другой способ вывода этой формулы.

Задача 14.2. Докажите что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Задача 14.3. Две стороны треугольника равны b и c, угол между

ними равен α. Докажите, что длина медианы, проведенной к тре-

√

тьей стороне, равна 12 b2 + c2 + 2bc cos α.

Указание. Достройте треугольник до параллелограмма.

Задача 14.4. Используя результат задачи 14.2, дайте новое доказательство формулы, выражающей медиану треугольника через три его стороны.

Задача 14.5. В треугольнике ABC даны стороны AB = c, BC = = a, AC = b. Точка M выбрана на стороне BC таким образом, что BM/MC = 1/2. Найдите длину отрезка AM.

§ 15. Вокруг площади треугольника

Пусть опять в треугольнике известны стороны a и b и угол между ними γ. Выразим через эти данные — которые полностью определяют треугольник — его площадь. Для этого опустим из вершины A высоту AM BC (рис. 15.1а); пусть AM = h. Как известно, площадь треугольника равна ah/2.

С другой стороны, если угол γ острый, то из прямоугольного треугольника AMC находим, что h = b sin γ (рис. 15.1а); если же угол γ тупой (рис. 15.1б), то из треугольника AMC опять же получаем h = b sin(180◦ −γ) = b sin γ. Стало быть, в любом случае площадь равна 12 ah = 12 ab sin γ.

69

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Мы пропустили случай, когда угол γ прямой. В этом случае sin γ = 1, и формула принимает вид S = 12 ab, что, очевидно, справедливо.

Задача 15.1. Докажите, что площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Задача 15.2. Диагонали четырехугольника делят его на четыре треугольника, площади которых равны S1, S2, S3 и S4 (рис. 15.2). Докажите, что S1S3 = S2S4.

мулой sin γ = 1 − cos2 γ (для произвольных γ, как вы помните, в правой части может стоять минус, но если γ — угол в пределах от 0◦ до 180◦, то sin γ > 0, так что в этом случае минус не нужен).

70

Подставляя все это в нашу формулу для площади треугольника, получим вот что (S — площадь треугольника):

Это выражение можно преобразовать к более приятному виду. Для этого обозначим буквой p величину (a+b+c)/2 (p — половина периметра треугольника, коротко — полупериметр). Тогда после упрощений получим:

Площадь треугольника со сторонами a, b и c равна

p

p(p − a)(p − b)(p − c), где p = (a + b + c)/2.

Эта формула называется формулой Герона.

Задача 15.3. Проведите преобразования, с помощью которых из нашей формулы для площади получается формула Герона.

Существует полезная формула, связывающая площадь треугольника с радиусом вписанной в него окружности. Именно, пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC со сторонами AB = c, BC = a, CA = b, r — ее радиус. Расстояние от O до каждой из сторон треугольника равно, очевидно, r (рис. 15.3). Поэтому, если разбить наш треугольник на треугольники AOB, BOC и COA, то высоты, опущенные в них из точки O, все равны r; следовательно, площади этих треугольников равны cr/2, ar/2 и br/2, а площадь всего треугольника ABC равна cr/2 + ar/2 + br/2 = (a + b + c)/2 · r = pr, где p — полупериметр. Словами:

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.

Задача 15.4. Даны стороны a, b, c треугольника. Найдите:

а) радиус вписанной окружности;

б) высоту, опущенную на сторону a.

71

Рис. 15.3.

Задача 15.5. Пусть стороны треугольника равны a, b, c. Найдите радиус окружности, касающейся стороны a и продолжений сторон b и c. (Окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продол-

Рис. 15.4. жений двух других сторон, называется вневписанной окружностью — рис. 15.4.)

Мы уже умеем находить медианы, площадь, высоты и радиус

са угла A в треугольнике ABC

(рис. 15.5), то BM/CM = AB/AC. Словами эту теорему можно сфор-

мулировать так: «биссектриса угла в треугольнике делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам».

Проще всего доказать эту теорему, используя площади. Именно, обозначим AB = c, AC = b, AM = l, BAC = α, BM = x,

72

Рис. 15.6.

CM = y. Биссектриса AM делит треугольник ABC на два: ABM и ACM. Найдем двумя способами отношение их площадей. Треугольники ABM и ACM имеют общую высоту h, поэтому их площади пропорциональны основаниям:

С другой стороны, так как AM — биссектриса, то BAM = CAM = α/2. Пользуясь нашей формулой для площади, получаем:

Сопоставляя два выражения для отношения площадей треугольников ABM и ACM, получаем, что x/y = c/b, или BM/CM = = AB/CB, что и утверждалось.

Задача 15.6. а) В треугольнике со сторонами AB = c, BC = a, CA = b проведена биссектриса AM угла A. Чему равны отрезки

BM и MC?

б) В каком отношении точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла A этого же треугольника?

Задача 15.7. Стороны треугольника равны 7, 8 и 12. Найдите длину биссектрисы1, проведенной к стороне длиной 12.

1Замечание для педантов: под длиной биссектрисы в треугольнике понимают длину отрезка биссектрисы от вершины угла до пересечения с противоположной стороной.

73