Глава 3

Решение треугольников

§ 14. Теорема косинусов

Определения тригонометрических функций острых углов, которые мы давали в начале нашей книжки, можно рассматривать как соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. В этой главе речь пойдет о произвольных треугольниках (не обязательно прямоугольных). Ход мыслей будет вот каким. С каждым треугольником связаны шесть чисел: величины трех сторон и трех углов. Между этими числами есть соотношения. Одно из этих соотношений вы уже знаете: сумма углов треугольника равна 180◦. Если, например, два угла в треугольнике равны 75◦ и 55◦, то третий угол уже не может быть каким попало, он обязательно равен 180◦ − 75◦ − 55◦ = 50◦. Этим соотношением, однако, дело не исчерпывается. Пусть, например, у некоторого треугольника мы знаем величины двух сторон и угла между ними. Тогда, согласно одному из признаков равенства треугольников, оставшаяся сторона и остальные два угла уже полностью определены. Наша цель — найти формулы, по которым они выражаются через уже известные стороны и угол.

Другие признаки равенства треугольников также ведут к соотношениям между сторонами и углами, и эти соотношения также можно задать формулами. Кроме того, если известны стороны и углы треугольника, то этим однозначно определяются площадь

65

треугольника, радиусы вписанной и описанной окружности и тому подобное. Для них тоже имеет смысл поискать формулы, выражающие их через стороны и углы треугольника.

Начнем же мы как раз с соотношения, связанного с «первым признаком равенства треугольников» (по двум сторонам и углу между ними)1. Итак, пусть заданы две стороны a и b треугольника и угол γ между ними. Попробуем выразить через эти данные длину третьей стороны. Обозначим эту сторону c. План действий таков: опустим высоту AM BC (рис. 14.1а — чертеж для случая, когда угол γ острый, 14.1б — для случая, когда он тупой). По теореме Пифагора для треугольника AMB имеем c2 = AM2 + MB2; если мы теперь выразим AM и MB через известные нам a, b и γ, то задача будет решена. Теперь конкретно:

•Пусть угол γ острый (рис. 14.1а). Тогда:

AM = b sin γ (из прямоугольного треугольника AMC); CM = b cos γ (из того же треугольника);

BM = BC − CM = a − b cos γ.

Теперь по теореме Пифагора

c2 = AM2 + BM2 = (b sin γ)2 + (a − b cos γ)2.

После упрощений, которые предоставляем вам провести самостоятельно, получаем:

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.

1В некоторых учебниках этот признак имеет другой номер.

66

• Пусть угол γ тупой (рис. 14.1б). Тогда:

AM = b sin(180◦ − γ) = b sin γ;

BM = BC + CM = a + b cos(180◦ − γ) = a − b cos γ.

(мы воспользовались формулами приведения). Отсюда

c2 = AM2 + BM2 = (b sin γ)2 + (a − b cos γ)2.

Получилось то же самое выражение, что и в первом случае; тем самым для всех случаев мы доказали такую формулу:

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.

Эта формула называется теоремой косинусов.

В нашем доказательстве мы не рассмотрели случай, когда угол γ прямой. В этом случае теорема косинусов также верна и, более того, была вам уже известна: если γ = 90◦, то cos γ = 0, и теорема косинусов приобретает вид c2 = a2+b2, то есть сводится к обычной теореме Пифагора.

Итак, часть программы по переводу первого признака равенства треугольников на язык формул мы выполнили: формула для вычисления третьей стороны по двум сторонам и углу между ними у нас уже есть. Надо еще найти два оставшихся угла треугольника, при том что один из углов и все стороны мы уже знаем. Собственно говоря, угол даже и не нужен: «третий признак равенства треугольников» гласит, что треугольник полностью определяется своими тремя сторонами1.

Стало быть, зададимся такой задачей: даны три стороны треугольника, найти его углы. Оказывается, ее решение дает та же теорема косинусов: надо только в формуле, выражающей эту теорему, выразить cos γ через a, b и c:

Вторая и третья формулы получаются аналогично первой.

1В некоторых учебниках этот признак также идет под другим номером.

67

Мы нашли не сами углы, а только их косинусы, но углы треугольника этим полностью определяются: когда α меняется от 0◦ до 180◦ (то есть от 0 до π радиан), значение cos α изменяется от 1 до −1, принимая каждое значение ровно один раз. Таким образом, можно записать:

α = arccos b2 + c2 − a2 .

2bc

Задача 14.1. В треугольнике со сторонами a, b и c против стороны c лежит угол γ. Докажите, что угол γ острый тогда и только

тогда, когда a2 + b2 > c2, и тупой тогда и только тогда, когда a2 + b2 < c2.

С помощью теоремы косинусов легко по-

лучить формулу, выражающую длину медианы треугольника через длины его сторон.

r

= c2 + 4 − ac cos β.

С другой стороны, по теореме косинусов уже для всего треугольника ABC имеем

cos β = a2 + c2 − b2 .

2ac

Подставляя это в предыдущую формулу, получим (после упрощений) вот что:

68