- •Предисловие
- •Глава 1 гидростатика
- •1.1. Массовая сила, напряжение, давление
- •1.2. Уравнения гидростатики
- •1.3. Жидкость в поле силы тяжести
- •1.4. Закон Архимеда
- •1.5. Жидкость в неинерциальной системе отсчёта
- •Глава 2 динамика невязкой жидкости
- •2.1. Скалярное и векторное поля
- •2.2. Линии тока и траектории
- •2.3. Расход жидкости
- •2.4. Расход при стационарном течении.
- •2.5. Одномерное течение. Уравнение Эйлера
- •2.6. Уравнение Бернулли
- •2.7. Скорость ударной волны
- •2.8. Скорость звука в газе
- •2.9. Решение уравнения Эйлера для газа и сжимаемой жидкости
- •Глава 3 динамика вязкой жидкости
- •3.1. Понятие о вязкости
- •3.2. Течение жидкости в круглой трубе
- •3.3. Ламинарное и турбулентное течения
- •3.4. Тело в потоке вязкой жидкости
- •3.5. Уравнение неразрывности
- •3.6. Фильтрация жидкости в скважину
- •3.7. Закон парности касательных напряжений
- •Приложение
- •1. Скалярное и векторное поля
- •2. Вектор площадки. Поток векторного поля
- •3. Инвариантные определения градиента, дивергенции, ротора
- •Теорема о градиенте, дивергенции, роторе
- •5. Градиент, дивергенция и ротор в декартовых координатах
- •6. Оператор Гамильтона
- •7. Вычисление расхода через произвольную поверхность
- •8. Циркуляция векторного поля
- •9. Формула Стокса
- •10. Смысл градиента, дивергенции, ротора
- •1. Смысл градиента:
- •3. Смысл ротора:
- •11. Закон Архимеда как следствие теоремы о градиенте
- •12. Расход невязкой несжимаемой жидкости как следствие уравнения неразрывности
- •13. Парадокс гидростатики
- •14. Измерение атмосферного давления
- •Глоссарий
- •Оглавление
- •Глава 1. Гидростатика…………………………………………………………………2
- •Глава 2. Динамика невязкой жидкости………………………………………..15
- •Глава 3. Динамика вязкой жидкости……………………………………………26
3.2. Течение жидкости в круглой трубе
В соответствии с рис. 3.2, при течении в круглой трубе скорость жидкости равна нулю около стенок и максимальна на оси трубы (рис. 3.3). Иначе говоря,
при должно быть(а)
при должно быть(б)
Найдём закон изменения скорости частиц жидкости в зависимости от их расстояниядо оси трубы радиуса
В трубе выделим воображаемый цилиндрический объём жидкости радиуса и длины(рис. 3.4).
Рис. 3.3 Рис. 3.4
У цилиндра площадь боковой поверхности равна поэтому со стороны внешней среды на боковую поверхность действует сила
На торцы цилиндра действует сила давления
Цилиндр движется равномерно (не ускоренно), поэтому действующая на цилиндр суммарная сила равна нулю:
Решаем полученное дифференциальное уравнение:
(в)
Для определения неизвестной константы воспользуемся начальным условием (а):
Отсюда
Подставим в (в):
(3.3)
Условие (б) даёт
(3.4)
Поэтому и формула (3.3) запишется так:
(3.5)
Найдём поток вектора скорости сквозь поперечное сечение трубы (т.е. найдём объёмный расход жидкости), применив формулу (2.2):
Так как – круг, вычисления удобно вести в полярных координатах. Тогда
Подставив сюда значение (3.4), получим
Формула Пуазейля |
(3.6)
По формуле Пуазейля можно определить вязкость жидкости:
Числовые значения в правой части определяются из условий эксперимента.
3.3. Ламинарное и турбулентное течения
Пусть жидкость вытекает из сосуда по горизонтальной стеклян-ной трубке (рис. 3.5). В капилляр будем впускать ту же, но окрашенную жидкость и смотреть, какая струйка будет течь по горизонтальной трубке.
Если сечение горизонтальной трубки мало и скорость мала, то окрашенная струйка будет двигаться прямолинейно, не смешиваясь с остальной прозрачной жидкостью. Такое течение называется слоистым, или ламинарным.
Если сечение горизонтальной трубки увеличивать или увеличивать скорость течения, появится не-регулярное движение частиц жидкости: окрашенная струйка сначала начнёт дрожать, а потом хаотично перемешиваться с прозрачными стру- Рис. 3.5
ями. Такое течение называют турбулентным.
Формула Пуазейля справедлива только для ламинарного течения.
Введём безразмерную величину
|
Число Рейнольдса |
(3.7)
Переход ламинарного течения в турбулентное происходит при некотором критическом числе Рейнольдса Это значение сильно зависит от формы входной части трубы:
При стационарном турбулентном течении скорость в данной точке пространства случайным образом меняется во времени, но среднее значениенаправлено вдоль оси трубы. Средняя скорость остаётся постоянной по всему сечению, и только в тонком пограничном слое у стенки трубы падает до нуля (рис. 3.6).Рис. 3.6
На практике при турбулентном течении используется формула
или
(3.8)
в которой безразмерный гидравлический коэффициент.
Найдём соответствующую формулу для ламинарного течения. Так как то
(3.6)
т.е.
(3.9)
Сравнение формул (3.8) и (3.9) показывает, что повышение скорости прокачки жидкости по трубам потребует при турбулентном течении большего перепада давления чем при ламинарном. Гра-Рис. 3.7
фик зависимости скорости прокачки от перепада давления показан на рис. 3.7.