2.5. Одномерное течение. Уравнение Эйлера

Течение в одном направлении (вдоль определённой линии) называется одномерным.

В пространстве, где течёт жидкость, выделим неподвижный бесконечно малый объём в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 2.4). Введём систему координатОбозначив размеры параллелепипедаполучим

(2.8)

Масса жидкости внутри равна

(2.9)

где – плотность жидкости. Укажем силы, действующие на эту массу (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Наша цель – составить уравнение движения частиц жидкости. Для этого воспользуемся вторым законом Ньютона

Спроецируем векторы на ось

Подставим (2.9):

(2.10)

Левая часть – суммарная сила, действующая на массу Она равна

Так как то с учётом (2.8) это выражение можно упростить:

(2.11)

Подстановка (2.11) и (2.9) в (2.10) даёт

или

(2.12)

Найдём ускорение рассматриваемого элемента жидкости, находящегося внутриОно равно ускорению частиц, расположенных на левой грани параллелепипеда.

Обозначим проекцию вектора скорости на ось Скорость частиц зависит от и отпоэтому

Отсюда следует, что

(2.13)

Здесь время, за которое частицы, находящиеся на левой грани, пройдут расстояниеТогда

(2.14)

Подставим (2.14) в (2.13). Будем иметь отсюда

(2.15)

Осталось подставить (2. 15) в (2.12):

Разделив обе части на получим окончательно

Уравнение Эйлера

(2.8)

2.6. Уравнение Бернулли

Рассмотрим стационарное течение вдоль оси При стационарном течении скорость со временем не меняется, поэтомуУравнение Эйлера (2.8) примет вид

(а)

Вполе силы тяжестиСпроецируемна осьнаклонённую под угломк вертикали(рис. 2.5). ПолучимПодставим в (а):

(б)

На рис. 2.5 видим, что когда координата растётвысотауменьшаетсяпоэтомуПодставим в (б):

Рис. 2.5

(2.9)

У несжимаемой жидкости В этом случае равенство (2.9) запишется так:

Умножив все члены на получим

Уравнение Бернулли для несжимаемой и невязкой жидкости

(2.10)

З а д а ч а 1. В наклонном трубопроводе течёт вода (рис. 2.6). В сечениях с диаметрами м и м производится замер давлений. Разница давлений оказалась равной м ртутного столба. Определить расход воды, если кг/м₃, кг/м₃.

 В обоих сечениях расход одинаков:

Составим уравнение Бернулли для этих сечений:

где и – статиче­ские давления в обоих сечениях, и – высоты до обоих сечений, отсчитанные от общего горизонтального уровня (рис. 2.6).

Составим условие равенства давлений

Решим систему уравнений:

Из первых двух уравнений имеем:

(а)

Из четвёртого уравнения подставим в третье:

Подставим значения и из (а): _{Рис. 2.6}

Отсюда

2.7. Скорость ударной волны

Гидравлический удар – резкое увеличение давления в трубопроводе при внезапной остановке движения в жидкости.

Гидравлический удар возникает при быстром закрытии задвижки, крана, при внезапной остановке насоса. Особенно опасен гидроудар в длинном трубопроводе, в котором движется большая масса жидкости с большой скоростью.

Представим себе горизонтальную трубу постоянного сечения в которой жидкость или газ, имеющий плотностьи давлениедвижется влево со средней скоростью(рис. 2.7).

Рис. 2.7

В момент времени быстро закроем задвижку. Передний, первый слой жидкости, столкнувшись с задвижкой, отразится вправо. Однако на него набежит второй слой, увеличит в нём давление и отразится. На второй слой набежит третий, увеличит давление и отразится. И т.д.

Таким образом, граница участка повышенного давления и повышенной плотностибудет перемещаться в правую сторону, против течения жидкости, с некоторой скоростью, называемойскоростью распространения волны давления (или ударной волны).

Обозначим через скорость распространения волны давления внеподвижной жидкости. За время волна давления должна была бы пройти вправо путь(рис. 2.6). Однако за это время набегающее течение снесёт волну давления назад на расстояниеПоэтому в действительности волна давления пройдёт путь

Объём этого участка массаДо момента(до столкновения с задвижкой) эта масса имела скоростьа значит импульс

Через время эта масса стала неподвижнойпоэтому её импульс стал равен нулю. Следовательно, за времяпроизошло изменение импульса, равное(а)

С другой стороны, за время давление на задвижку возросло напоэтому сила на задвижку возросла наЗначит, за времяпроизошло изменение импульса силы, равное(б)

Так как величины (а) и (б) равны, то

или (в)

На участке трубы длиной располагается сжатая массаЕсли бы масса не была сжата, она имела бы первоначальную плотность и занимала бы участок длиныт.е. было быЗначит, или(г)

Равенства (в), (г) образуют систему уравнений

из которой находим (д)

Раскрыв скобки во втором уравнении системы, будем иметь

Обычно т.е. скорость движения частиц пренебрежимо мала по сравнению со скоростью распространения ударной волны. ПоэтомуПодстановка в (д) даёт

Формула вычисления скорости ударной волны, а также скорости звука в жидкости или газе

(2.11)