3.6. Фильтрация жидкости в скважину

Просачивание, течение сквозь пористую среду называют фильтрацией жидкости.

Пусть имеется вертикальная скважина радиуса Она пронизывает пласт мощности (толщины) содержащий жидкость. За счёт перепада давления жидкость течёт в скважину в радиальном направлении. Скорость фильтрации прямо пропорциональна градиенту давления (т.е. разности, перепаду давления, приходящегося на единицу длины) и обратно пропорциональна вязкости жидкости:

(а)

где коэффициент проницаемости пласта,расстояние от оси скважины до произвольной точки прискважинного пространства.

Во время эксплуатации скважины прилежащие пласты, как правило, загрязняются. Это означает, что коэффициент проницаемости пластов уменьшается и потому уменьшается приток жидкости в скважину. Найдём количественную связь между этими величинами.

Вокруг скважины мысленно опишем цилиндрическую поверхность радиуса и высотыПлощадь этой воображаемой поверхности(б)

Объём жидкости, протекающей сквозь за единицу времени, равенОн не зависит отПодставив сюда значения (а) и (б), получим

Отделим переменные и

Интегрирование по переменной в интервале от до даст

(в)

где давление жидкости у стенки скважины.

В свою очередь, пласт, из которого жидкость притекает в скважину, снабжается жидкостью из области, называемой контуром питания. Ради простоты будем считать, что контур питания представляет собой окружность радиуса с центром на оси скважины. Давление на расстоянииобозначими назовёмпластовым давлением.

Итак, должно выполняться условие Подставим его в (в). Получим

отсюда

(3.11)

Рассмотрим два примера применения данной формулы.

1. В прискважинной зоне коэффициент проницаемости постоянен, Вычислим интеграл, входящий в (3.11):

_{Подставив это значение в (3.11), будем иметь}

_{Получилась известная формула Дюпюи¹.}

2. В прискважинной зоне коэффициент проницаемости растёт по линейному закону:

(рис. 3.11). Подставим эту величину в интеграл, входящий в (3.11): Рис. 3.11

Равенство (3.11) принимает вид

3.7. Закон парности касательных напряжений

Внутри жидкого или твёрдого тела в какой-либо точке мысленно построим оси координат (рис. 3.12). Вблизи начала координат проведём наклонную плоскость, пересекающую оси так, чтобы треугольник, содержащий точкуC, был равнобоким (тогда значит,Получится бесконечно малый тетраэдр, ограниченный координатными плоскостями и наклонной плоскостью (на рис. 3.12 тетраэдр показан в увеличенном масштабе). ТочкиA, B, C, D, лежащие на гранях, будем считать именами этих граней.

Рис. 3.12.

Докажем, что если нет ускоренного вращения различных частей этого тела, то будет выполняться закон парности касательных напряжений:

касательные напряжения на взаимно перпендикулярных гранях, примыкающих друг к другу, одинаковы и направлены либо к ребру, либо от ребра.

Малость тетраэдра позволяет считать, что по грани напряжение распределено равномерно (т.к. оно не успевает измениться). Тогда поверхностная сила, действующая на грань, будет приложена к центру тяжести грани, т.е. к точке пересечения медиан.

Вращение тетраэдра вокруг прямой CD возможно только под действием напряжений и(рис. 3.11). Напряжениесоздаёт на граниB силу а напряжениесоздаёт на граниA силу Чтобы вращения не было, одна из этих сил должна стремиться вращать тетраэдр против часовой стрелки (на рис. 3.11 это сила), другая – по часовой стрелке (сила). Поэтому суммарный момент этих сил относительноCD

DADB

должен быть равен нулю. Тогда

DADB

Но DA = DB, После сокращений останется

что и требовалось доказать.