Приложение

1. Скалярное и векторное поля

Пусть – произвольная точка пространства,произвольный момент времени. Введём обозначения:

плотность частицы жидкости или газа в точке в момент времени

скорость частицы жидкости или газа в точке в момент времени

Эти обозначения говорят, что плотность и скорость – функции от точки пространства и времени. Кроме плотности и скорости существуют другие переменные величины, также зависящие от положения точки и момента времени

Поле – функция от точки и времени.

Так как функция может быть скалярной либо векторной, то и поле бывает скалярным или векторным.

Значит, плотность скалярное поле (скалярная функция, скаляр), а скоростьвекторное поле (векторная функция, вектор).

Поле, не меняющееся во времени, называют стационарным или установившимся.

В этом случае для плотности вместо пишема для скорости вместопишем

Введём систему координат Произвольная точкабудет иметь координатыпоэтому вместоиможно писатьи

Далее символом будем обозначать произвольную скалярную функцию (скалярное поле, скаляр), а символом– произвольную векторную функцию (векторное поле, вектор).

Три координаты вектора в пространствебудем обозначать(три функции отВ этом случаеили в краткой записи

2. Вектор площадки. Поток векторного поля

На поверхности мысленно выделим бесконечно малую площадку(рис. 2.1). Построимвекто­р площадки – вектор, выходящий изи направленный перпендикулярно ктак, что из концавиден обход границы площадки против часовой стрелки.

Построим единичный вектор нормальный к(рис. 2.2). Тогда

(2.1)

Пусть имеется поле скоростей Поместим в этом поле неподвижную площадку проницаемую для жидкости.

Рис. 2.1 Рис. 2.2

Когда площадкаперпендикулярна векторному полю (рис. 2.3, при этом векторыи параллельны), то пересекает наибольшее число вектор­ных линий. В этом случае говорят, что поток полясквозьмаксима­лен. Он равен – объёму цилиндра высотой и площадью осно­вания

Рис. 2.3 Рис. 2.4

На рис. 2.4 показан другой крайний случай, когда площадка параллельна векторному полю (при этом векторыи перпендикулярны). Здесь векторы скользят вдольне пересе­кая эту площадку. Поэтому поток векторасквозьравен нулю.

Если и располагаются под произвольным углом (рис. 2.5), то справедлива общая фор­мула

(2.2)

Скалярное произведение в правой части можно записать подробней:

Проинтегрировав (2.2) по поверхности получим Рис. 2.5

(2.3)

– поток векторного поля сквозь по­верхность

Если то Если при этом и значение во всех точкаходи­на­ково, то из (2.3) будем иметь

(2.4)

Если – скорость течения жидкости, то формулы (2.3) и (2.4) даютрасход жидкости: объём жидкости, протекаю­щей сквозь за единицу времени.

3. Инвариантные определения градиента, дивергенции, ротора

Пусть произвольная точка пространства.

Градиент скалярной функции определяется по формуле

(П.3.1)

Дивергенция векторной функции определяется по формуле

(П.3.2)

Ротор векторной функции определяется по формуле

(П.3.3)

В этих формулах:

объём, содержащийся внутри бесконечно малой поверхности

вектор площадки поверхности

точка () – знак скалярного умножения;

косой крест () – знак векторного умножения.

Правые части данных формул не содержат координат переменной точки Значит, эти формулы справедливы в любой системе координат, они не зависят от выбора системы координат. Иными словами, ониинвариантны.

Правые части этих формул можно записать, используя знак предела. Например, (П.3.3) можно записать так:

(П.3.4)

Здесь означает, что и областьи замкнутая поверхностьсжимаются в точкуПоэтому величины (П.3.1)-(П.3.3) не зависят от формы поверхностиилиЕсли в формуле (П.3.4) убрать знак предела, получится приближённое равенство

или равенство

(П.3.5)

которое тем точнее, чем меньше