4. Теорема о градиенте, дивергенции, роторе

Теорема. Если область ограничена поверхностьюто

(П.4.1)

(П.4.2)

(П.4.3)

Формально эти равенства получаются сразу из определений (П.3.1)-(П.3.3). Равенство (П.4.2) называется формулой Остроградского-Гаусса.

Строгое доказательство этих формул опирается на тот факт, что поверхностные интегралы в правых частях изменяют свой знак при изменении ориентации поверхности.

5. Градиент, дивергенция и ротор в декартовых координатах

В декартовой системе координат градиент, дивергенция и ротор определяются по формулам

(П.5.1) (П.5.2) (П.5.3)

где скаляр (скалярная функция, скалярное поле), вектор (векторная функция, векторное поле) ( – функции от ).

 В П.3 мы выяснили, что формулы (П.3.1)-(П.3.3) не зависят от формы замкнутой поверхности ограничивающей фигуру Поэтому ради удобства возьмём фигуру – бесконечно малый параллелепипед со сторонамиЕго объём Направим координатные оси вдоль рёбер (рис. 5.1).

Докажем формулу (П.5.1).

(П.3.1)

=Поверхность состоит из шести граней=

=На грани (ЛИРУЛ) имеем внеш-

ний вектор на противополож- Рис. 5.1

ной грани (АСОКА) будет и т.д.=

=Грань (ЛИРУЛ) мала, поэтому в пределах этой грани функция не успевает измениться. Значит, на нейАналогично, на грани (АСОКА) будет И т.д.=

=Площадь грани (ЛИРУЛ) равна и равна площади грани (АСОКА). И т.д.=

=При перемещении от точки А к Л изменяется лишь координата поэтому

И т.д.=

Полученное равенство даёт нам формулу (П.5.1).

Остальные две формулы можно вывести таким же путём, но мы поступим иначе. Выпишем полученные равенства

(а)

Заметим, что в (а) вектор заменяется в правой части на векторы

Посмотрим на определение дивергенции:

В отличие от выражения (а) здесь присутствует вектор вместо скаляра Поэтому в (а) заменим на и обычное умножение заменим на скалярное, обозначаемое точкой. Будем иметь

отсюда

Но аналогично, поэтому

Получилась формула (П.5.2). Наконец, посмотрим на определение ротора:

В отличие от выражения (а) здесь присутствует вектор (вместо )и векторное умножение (вместо обычного). Поэтому (а) преобразуется так:

отсюда

6. Оператор Гамильтона

Введём специальный символ

(6.1)

называемый оператором Гамильтона, или оператором набла².

Оператор преобразует, переводит величину в другую величину, Он обладает свойствами и вектора, и производной. Применение операторак какой-либо величине назовём «умножением» операторана эту величину.

1. «Умножение» на числовую функциюдаст градиент этой функции:

(6.2)

 ■

2. Скалярное «умножение» на векторную функциюдаст её дивергенцию:

(6.3)

 ■

3. Векторное «умножение» на векторную функциюдаст её ротор:

(6.4)

 ■

7. Вычисление расхода через произвольную поверхность

Расход жидкости, или поток поля скоростей сквозь поверхность вы можете найти по формуле

в которой – уравнение поверхности, – нормальный вектор поверхности, – проекция поверхности на плоскость

Если поверхность замкнутая, то расход можно найти по формуле Остроградского-Гаусса:

где – область внутри