- •Предисловие
- •Глава 1 гидростатика
- •1.1. Массовая сила, напряжение, давление
- •1.2. Уравнения гидростатики
- •1.3. Жидкость в поле силы тяжести
- •1.4. Закон Архимеда
- •1.5. Жидкость в неинерциальной системе отсчёта
- •Глава 2 динамика невязкой жидкости
- •2.1. Скалярное и векторное поля
- •2.2. Линии тока и траектории
- •2.3. Расход жидкости
- •2.4. Расход при стационарном течении.
- •2.5. Одномерное течение. Уравнение Эйлера
- •2.6. Уравнение Бернулли
- •2.7. Скорость ударной волны
- •2.8. Скорость звука в газе
- •2.9. Решение уравнения Эйлера для газа и сжимаемой жидкости
- •Глава 3 динамика вязкой жидкости
- •3.1. Понятие о вязкости
- •3.2. Течение жидкости в круглой трубе
- •3.3. Ламинарное и турбулентное течения
- •3.4. Тело в потоке вязкой жидкости
- •3.5. Уравнение неразрывности
- •3.6. Фильтрация жидкости в скважину
- •3.7. Закон парности касательных напряжений
- •Приложение
- •1. Скалярное и векторное поля
- •2. Вектор площадки. Поток векторного поля
- •3. Инвариантные определения градиента, дивергенции, ротора
- •Теорема о градиенте, дивергенции, роторе
- •5. Градиент, дивергенция и ротор в декартовых координатах
- •6. Оператор Гамильтона
- •7. Вычисление расхода через произвольную поверхность
- •8. Циркуляция векторного поля
- •9. Формула Стокса
- •10. Смысл градиента, дивергенции, ротора
- •1. Смысл градиента:
- •3. Смысл ротора:
- •11. Закон Архимеда как следствие теоремы о градиенте
- •12. Расход невязкой несжимаемой жидкости как следствие уравнения неразрывности
- •13. Парадокс гидростатики
- •14. Измерение атмосферного давления
- •Глоссарий
- •Оглавление
- •Глава 1. Гидростатика…………………………………………………………………2
- •Глава 2. Динамика невязкой жидкости………………………………………..15
- •Глава 3. Динамика вязкой жидкости……………………………………………26
2.3. Расход жидкости
Расход – это объём жидкости, протекающей сквозь воображаемую проницаемую поверхность за единицу времени.
В пространство, где течёт жидкость или газ со скоростью поместим воображаемую неподвижную бесконечно малую площадкупроницаемую для жидкости. На рис. 2.5 показан случай, когда вектор площадки располагается под произвольным углом к вектору скорости
Расход жидкости через площадку будет равен
(2.1)
Теперь в пространство, где течёт жидкость или газ, поместим произвольную поверхность Мысленно разобьёмна бесконечно малые части. Расход сквозь каждую часть определяется по формуле (2.1). Сложив (проинтегрировав) эти расходы, получим расход через всюРис. 2.5
Расход жидкости (газа) через поверхность |
(2.2)
Если сечение перпендикулярно скорости течения:(при этоми скорость во всех точкаходинакова, то из (2.2) будем иметь
(2.3)
Обыкновенно этой формулой пользуются при вычислении расхода жидкости или газа через поперечное сечение трубопровода.
Умножим объём (2.1) на плотность Получиммассу жидкости, протекающей сквозь за единицу времени
(2.4)
Проинтегрировав (2.4) по поверхности получим массу жидкости, протекающей сквозьза единицу времени (массовый расход):
Если поверхность замкнута, то по теореме о дивергенции (П.4.2) это равенство равносильно такому:
(2.5)
– масса жидкости, вытекающейиз области за единицу времени.
Пусть область мала; обозначим её Тогда из (2.5) получим
(2.6)
– масса жидкости, вытекающейиз области за единицу времени.
З а д а ч а 1. Дано поле скоростей текущей жидкости
а) Найти расход через боковую поверхность конуса ограниченного заданными поверхностями:
(а)
б) Найти расход через всю поверхность конуса.
Начертим конус (рис. 2.6). Равенство есть уравнение горизонтальной плоскости. Равенство есть уравнение конической поверхности.
а) Уравнение конической поверхности запишем так:
Находим нормальный вектор
Рис. 2.6
После сокращения на +2 будем иметь
При этом вектор укорачивается, но направление не меняется. Его модуль
Единичный вектор, нормальный к боковой поверхности конуса, равен
Находим скалярное произведение:
Подставим в формулу расхода (2.2):
На поверхности конуса выполняется равенство Подставим это значение:
где круг,проекция боковой поверхности конуса на плоскость Из системы уравнений (а) получим или окружность радиуса
Для вычисления интеграла перейдём к полярной системе координат Тогда и
Ввиду того, что
остаётся
Отрицательность расхода означает, что жидкость в основном втекает через боковую поверхность конуса.
б) Вся поверхность конуса является замкнутой поверхностью, внутри которой находится весь конус поэтому можно воспользоваться формулой Остроградского-Гаусса. Но сначала найдём дивергенцию вектора скорости:
По формуле расхода (2.2) имеем
2.4. Расход при стационарном течении.
Течение называют стационарным, когда скорость не зависит от времени.
Рассмотрим течение жидкости в каком-либо трубопроводе через поперечные сечения иЗа единицу времени через сечениевтекает объёма черезвытекает объёмТак как жидкость практически несжимаема, то в пространстве междуиобъём жидкости не меняется. Значит, объём входящей жидкости через сечениеравен объёму выходящей жидкости черезИначе говоря,. Таким образом,
Условие постоянства расхода |
(2.7)
Следовательно, там, где сечение больше, скорость меньше.