Решение
Вычислим первую производную y′x по правилу дифференцирования функции, заданной параметрически.
y′x = |
(sin 2 t)′t |
= |
2 sin t cos t |
= |
sin 2t |
|
|
|
|
. |
|||
(t 3 + 3t 2 + 4 )′t |
3t 2 + 6t |
3t 2 + 6t |
||||
Чтобы вычислить вторую производную, учтем, что производная y′x также является
параметрически заданной функцией. |
То |
есть первая |
производная y′x задана |
|||
x = t 3 |
+3t 2 + 4 |
|
||||
|
|
sin 2t . |
|
|||
параметрическими уравнениями |
y′x = |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
3t |
2 |
+ 6t |
|
|||
|
|
|
|
|||
Для вычисления второй производной можно дифференцирования, что и для первой.
|
|
(sin 2t |
)′ |
|
2cos 2t (3t2 +6t )−sin 2t (6t+6) |
|||
|
|
|
(3t |
2 |
2 |
|||
|
|
2 |
t |
|
||||
y′′2 |
= |
|
3t +6t |
= |
|
+6t ) |
||
(t3 +3t 2 + 4)′t |
|
|
|
|||||
x |
|
|
3t |
2 + 6t |
||||
|
использовать то же |
правило |
||
= |
6 (cos 2t (t 2 + 2t)−sin 2t |
(t +1)) |
. |
|
(3t 2 + 6t)3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
Теорема. Механический смысл первой и второй производной |
|
|
|
|||||||||||||||
Если x(t) |
– путь, пройденный материальной точкой, движущейся прямолинейно, за |
|||||||||||||||||
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
время t , то x |
(t) – скорость точки в момент времени t , а |
x (t) – ее ускорение в момент |
||||||||||||||||
времени t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Средняя скорость |
|
между |
моментами |
времени |
t |
и |
t + |
t |
равна vñð. = |
x , где |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
x = x(t + t)− x(t) – путь, пройденный за время |
t . Скорость v(t) в момент времени t |
|||||||||||||||||
определяется как предел средней скорости за промежуток времени |
t при |
t → 0 . |
||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v(t)= lim vñð. = lim |
|
′ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
= x (t). |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→0 |
t→0 |
|
v , |
|
|
|
|
||
Среднее ускорение за |
временя |
t |
равно |
añð. = |
где |
v = v(t + t)− v(t) – |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t . Ускорение a(t) |
|
|
|
t |
|
|
|
|
||
изменение скорости за время |
в момент времени t |
определяется как |
||||||||||||||||
предел среднего |
ускорения |
за |
промежуток |
времени |
t |
при |
t → 0 . |
Тогда |
||||||||||
a(t)= lim aср. |
= lim |
|
v |
= v |
′ |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t |
|
(t)= x (t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
t→0 |
|
t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следствие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если x(t) |
– смещение материальной точки за время t |
вдоль оси Ox под действием |
||||||||||||||||
силы F(t), |
то, используя второй закон Ньютона m a = F , можно записать уравнение ее |
|||||||||||||||||
движения |
m |
′′ |
|
(t), где |
m – |
масса точки, |
а |
F |
- |
равнодействующая всех сил, |
||||||||
x (t)= F |
||||||||||||||||||
приложенных к ней. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Дифференциалы высших порядков. |
|
|
|
|||||||||
Определение |
|
y = f (x) дважды дифференцируема в точке |
|
|
|
|||||||||||||
Пусть функция |
x . |
Дифференциалом |
||||||||||||||||
второго порядка от функции |
f (x) или вторым дифференциалом в точке x называется |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
дифференциал от ее первого дифференциала d(dy). Второй дифференциал обозначается d 2 y .
Аналогично определяется дифференциал третьего порядка d 3 y , четвертого порядка d 4 y , и так далее.
Теорема
Если функция y = f (x) дважды дифференцируема и x – независимая переменная, то формула для второго дифференциала имеет вид:
|
|
|
|
2 |
′′ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
d y = |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
f (x) (dx) . |
|
|
|
|||||
Доказательство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По определению второго дифференциала |
d 2 y = d(dy). Используя формулу |
для |
|||||||||
первого дифференциала dy , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
′ |
|
|
′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
d y = d (f (x) dx)= d(f |
|
(x)) dx + f |
(x) d(dx). |
|
||||||
Так как для независимой переменной дифференциал dx равен приращению x |
и не |
||||||||||
зависит от переменной x , то d (dx)= 0 . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
′ |
|
′′ |
|
|
|
′′ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d y = d(f (x)) dx = f |
(x) dx dx = f |
(x) dx . |
|
||||||||
Следствие
Если x – независимая переменная, то формула для дифференциала n – го порядка
имеет вид:
d n y = f (n)(x) (dx)n .
Пример 1
Найти дифференциал второго порядка для функции y = esin x .
Решение
Формула для второго дифференциала имеет вид: d 2 y = y′′ (dx)2 .
Вычислим первую производную: y′ = esin x cos x . Затем вычислим вторую производную: y′′ = esin x cos x cos x + esin x (−sin x).
Проведем в полученном выражении все упрощения. Получим y′′ = esin x (cos2 x −sin x).
Подставив, найденную формулу для второй производной в формулу дифференциала, окончательно запишем второй дифференциал в виде:
d 2 y = esin x (cos2 x −sin x) dx2 .
Пример 2
Найти формулу для дифференциала n – го порядка d n y функции y = sin x .
Решение
При решении используем формулу для дифференциала n – го порядка d n y = f (n)(x) (dx)n .
Вычислим производные: y′ = cos x , y′′ = −sin x , y′′′ = −cos x , y IV = sin x , yV = cos x = y′, yVI = y′′ и так далее. Заметим, что y(n) = sin(x + n2π), при n =1,2,3,4 . Тогда
14