′ |
2 |
|
|
2 −13 |
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
x 3 x −1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − |
3 x |
= 3 |
3 |
= |
3 |
3 |
|
. |
|||||
f (x)= 3 |
x − |
|
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
x |
= ±1 и производная |
|
′ |
не существует при x = 0 . |
||||||||
Производная f (x)= 0 при |
|
f (x) |
|||||||||||||
Вычислим значения функции в этих точках: |
f (±1)= − |
2 |
. |
f (0)= 0 . Значения функции на |
|||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
концах заданного промежутка равны: f (±8)=17 13 .
Следовательно, наибольшее значение функции равно 17 13 при x = ±8 , наименьшее значение функции равно − 23 при x = ±1.
2.3.Формула Тейлора и ее применение. Исследование функций с помощью
производных высших порядков
Многочлен Тейлора
Нами уже говорилось, что многочленом n – й степени относительно переменной x называется многочлен вида
Pn (x)= a0 + a1x + a2 x2 +... + an xn .
Многочлен вида
Tn (x)= a0 + a1(x − x0 )+ a2 (x − x0 )2 +... + an (x − x0 )n .
также является многочленом n - й степени относительно переменной x . Если раскрыть все скобки и привести подобные члены, то его можно привести к виду, в котором записан многочлен Pn (x). Многочлен Tn (x) в отличие от многочлена Pn (x) называют
многочленом n - й степени относительно переменной x , записанным по степеням
Определение |
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть функция |
n |
раз дифференцируема в точке x0 . Многочлен n – й степени |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
относительно переменной |
|
x , записанный по степеням x − x0 , |
|
называется многочленом |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Тейлора для функции |
|
f (x) |
в точке x0 , |
|
если: в этой точке равны значения функции |
f (x) |
|||||||||||||||||||||||||||||
и многочлена Tn (x), |
а также значения всех их производных до производных n |
– го |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из определения следует, что многочлен вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
T |
(x)= a |
+ a (x − x |
|
)+ a |
2 |
(x − x |
)2 +... + a |
n |
(x − x )n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
0 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
является многочленом |
Тейлора |
для |
функции |
f (x) |
в точке |
|
x0 , |
|
если выполняются |
||||||||||||||||||||||||||
равенства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tn (x0 )= f (x0 ); Tn′(x0 )= f ′(x0 ); ...; Tn(n)(x0 )= f (n) (x0 ). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
На основании |
определения |
можно |
|
получить |
формулы |
для |
коэффициентов |
||||||||||||||||||||||||||||
a0 , a1 ,..., an многочлена Тейлора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Теорема |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если многочлен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
T |
(x)= a |
0 |
+ a (x − x |
0 |
)+ a |
2 |
(x − x |
0 |
)2 |
+... + a |
n |
(x − x |
0 |
)n |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
является многочленом |
Тейлора |
функции |
|
|
в |
точке |
|
x0 , |
то |
его |
коэффициенты |
||||||||||||||||||||||||
a0 , a1,..., an определяются по формулам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (n)(x0 ) |
|
|
||||||||||||||||||
a |
0 |
= |
f (x |
0 |
); |
|
a |
= f ' |
(x |
0 |
); |
|
a |
2 |
= |
f ''(x0 ) |
;......; |
a |
n |
|
= |
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||