49. Как ведет себя остаточный член формулы Тейлора для функции f (x) в точке x0 при x → x0 ?
50.Какой вид будет иметь формула Маклорена для многочлена Pn (x)?
51.Можно ли представить функцию y = ln x формулой Маклорена?
52. Можно ли представить функцию y = x формулой Тейлора в окрестности точки
x=1 ? Если да, то какой вид она должна иметь?
53.Можно ли представить функцию y = 1x формулой Маклорена?
54.Как исследуется поведение функции в окрестности некоторой точки с помощью производных высших порядков?
5.ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1.Дифференциал функции и его геометрический смысл. Формула дифференциала и ее инвариантность.
2.Правила дифференцирования. Дифференциал сложной функции. Дифференцирование неявной и параметрически заданной функций.
3.Производные и дифференциалы высших порядков.
4.Монотонная функция. Необходимые условия возрастания и убывания функции.
5.Монотонная функция. Достаточные условия возрастания и убывания функции.
6.Теорема Ферма. Теорема Ролля.
7.Теорема Лагранжа и ее геометрический смысл. Правило Лопиталя.
8.Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке.
9.Определение экстремума (максимума и минимума). Необходимое условие экстремума.
10.Достаточные условия экстремума. Исследование функций на экстремум с помощью первой производной. Критические точки.
11.Выпуклость функции. Достаточные условия выпуклости функции. Точки перегиба.
12.Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции.
13.Многочлен Тейлора для функции f (x).
14.Формула Тейлора и Маклорена для функции f (x). Остаточный член формулы Тейлора.
15.Формула Маклорена для функций e x , sin x, cos x, ln(1 + x).
16.Исследование функций с помощью производных высших порядков.
6.ВЫПИСКА ИЗ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
5.Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Часть 2 (12 часов)
1.Дифференциал функции. Правила дифференцирования. Дифференциал сложной функции. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Дифференцирование неявных функций и функций, заданных параметрически (2
часа). Типовой расчет по темам: «Производная» и «Функции многих переменных».
Л.3.: 884, 889(17-22), 900,901, 806. 809, 811, 846, 862, 841 – 844, 963
2.Вычисление производных и дифференциалов высших порядков (2 часа).
Л.3.: 1019, 1026, 1030, 1034, 1056, 1058, 1062, 1070, 1071.
3.Вычисление пределов функций с помощью правила Лопиталя и формулы Тейлора
(2 часа).
Л.3.: 1332, 1335, 1338, 1341, 1344, 1351, 1358, 1355, 1359, 1365.
4.Исследование функций и построение графиков (2 часа).
Л.3.: 1407, 1408, 1413, 1418, 1411, 1424, 1434.
5.Наибольшее и наименьшее значения функций. Исследование функций с помощью производных высших порядков (2 часа).
Л.3.: 1185, 1188, 1191, 1196, 1514, 1518.
41
6.Самостоятельная работа. Прием типового расчета по теме «Дифференциальное исчисление функций одной переменной» (2 часа).
7.Тест по теме 5. «Дифференциальное исчисление функций одной
переменной». Часть 2
1.Найдите дифференциал функции y = ln4 x в произвольной точке x равен и укажите номер верного ответа в таблице 3.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|||||||||
|
|
1 |
dx |
|
|
|
|
4 ln3 x dx |
|
|
4 ln3 x |
dx |
|
4 ( |
1 |
|
)3 dx |
|||||||
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||
2. |
Найдите значение |
|
дифференциала функции |
y = 3 x +1 в |
точке x = 7 при |
|||||||||||||||||||
|
x = 0,01. Укажите номер верного ответа в таблице 4. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|||||||||
|
0,02 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0,0025 |
|
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
75 |
|
||||
3. |
На сколько |
увеличится ордината |
касательной, |
проведенной к |
графику функции |
|||||||||||||||||||
|
y = ln(x +1) |
в точке с абсциссой x = 0 , если x |
увеличится на 0,1? Укажите номер |
|||||||||||||||||||||
|
верного ответа в таблице 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|||||||||
|
|
На 0.2 |
|
|
|
|
На 0,1 |
|
|
На 0,01 |
|
На 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. |
Найдите значение |
производной y′x |
от функции |
y(x), заданной |
параметрическими |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x = |
t+1 в точке t =1. Укажите номер верного ответа в таблице 6. |
||||||||||||||||||
|
уравнениями |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
y = e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6 |
||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
4e |
|
|
|
2e |
|
|
4 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|||||
5.Чему равна третья производная функции y = cos2 3x в точке x ? Укажите номер верного ответа в таблице 7.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 7 |
||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|||
|
108sin 6x |
|
−12sin 6x |
|
−36sin 6x |
|
−54 cos 3x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
Чему |
равно значение второй |
производной |
функции |
y = arctg x в точке x =1? |
|||||||||||||
|
Укажите номер верного ответа в таблице 8. |
|
|
|
|
|
|
Таблица 8 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|||
|
0,5 |
|
|
– 0,5 |
|
|
– 0,25 |
|
0,25 |
|
||||||||
7. |
Чему равна вторая производная |
y′′2 функции y = y(x), |
заданной параметрическими |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = t |
? Укажите номер верного ответа в таблице 9. |
|
|
|
|||||||||
|
уравнениями |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ln t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 9 |
||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|||
|
− |
2 |
|
|
4t |
|
|
1 |
|
|
− |
1 |
|
|||||
|
|
t |
3 |
|
|
|
|
|
2t |
2 |
|
|
2t |
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.Чему равен дифференциал второго порядка d 2 y функции y = tg 3x ? Укажите номер верного ответа в таблице 10.
Таблица 10
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
||
|
18sin 3x |
2 |
18sin 3x |
2 |
|
9cos3x |
2 |
|
9 cos 3x |
2 |
− |
cos3 3x |
(dx) |
cos3 3x |
(dx) |
|
(dx) |
− |
|
(dx) |
|
sin3 3x |
sin3 3x |
|||||||||
9.Найдите производную n – го порядка функции y = ln x и укажите номер верного ответа в таблице 11.
|
1 |
|
2 |
|
|
− |
(n−1)! |
|
(−1)n−1 |
n! |
|
n |
n |
|
|||
|
x |
|
x |
|
|
Таблица 11
3 |
4 |
(−1) |
|
|
n |
(−1) |
|
n |
|
n |
n! |
n−1 |
(n−1)! |
||
|
|
x |
|
|
x |
|
10.Чему равно значение производной n – го порядка функции y = e2x в точке x = 0 ? Укажите номер верного ответа в таблице 12.
Таблица 12
1 |
2 |
1 |
2n |
3 |
4 |
n! 2
11. Какая из |
указанных в таблице |
13 функций |
удовлетворяет уравнению |
|
y′′ − 2 y′ + 2 y = 0 ? Укажите номер верного ответа. |
|
|
||
|
|
|
|
Таблица 13 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
e x sin x |
e x cos 2x |
e x |
|
cos x |
12.Закон прямолинейного движения материальной точки имеет вид S(t)= 
t . Выясните характер движения точки и укажите номер верного в таблице 14 ответа.
|
|
Таблица 14 |
1 |
2 |
3 |
ускоренное |
замедленное |
равномерное |
13.На каком промежутке функция у = e−x2 +4x убывает? Укажите номер верного ответа в таблице 15.
Таблица 15
1 |
2 |
(−∞; 0) |
(−∞; − 2) |
3 |
4 |
(2; ∞) |
|
(−∞; 2) |
14.На каком промежутке функция у = −2x3 +9x2 −12x возрастает? Укажите номер верного ответа в таблице 16.
Таблица 16
1 |
2 |
(− 2; −1) |
(1; 2) |
3
(2; ∞)
4
(−∞; 1)
15.Какая из перечисленных функций убывает при отрицательных значениях x ? Укажите номер верного ответа в таблице 17.
|
|
|
Таблица 17 |
||
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
y = arctg x |
y = ln(x2 + 4) |
y = e−x2 |
y = |
x |
|
x+1 |
|||||
16.Сколько корней у производной функции y = (x −1)(x − 2)(x −3)(x −4)? Укажите номер верного ответа в таблице 18.
Таблица 18
1 |
2 |
3 |
4 |
43
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
17. Сколько корней |
имеет производная |
дифференцируемой на |
промежутке [a, b] |
||
функции y = f (x), имеющей наибольшее и наименьшее значения в точках x1 , x2 (a; b) соответственно? Укажите номер верного ответа в таблице 19.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 19 |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
4 |
|
||
1 корень |
|
|
|
|
|
|
|
2 корня |
Не менее двух корней |
|
Больше двух корней |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
18. Чему равен lim |
|
x |
− tg x |
? Укажите номер верного ответа в таблице 20. |
|||||||||||
x − sin x |
|||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
Таблица 20 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
4 |
|
||
– 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
2 |
|
– 1 |
|||
19. Чему равен |
lim |
|
ln x |
? Укажите номер верного ответа в таблице 21 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→∞ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 21 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
4 |
|
||
– 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
∞ |
|||
20. Чему равен |
lim |
|
e |
x |
|
? Укажите номер верного ответа в таблице 22. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→∞ x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 22 |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
4 |
|
||
– 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
∞ |
|||
21. Чему равен lim |
e x + e−x − 2 |
? Укажите номер верного ответа в таблице 23. |
|||||||||||||
|
|
|
|
3 x2 |
|
||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 23 |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
4 |
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
22. Чему равен lim(ln |
x)tg x ? Укажите номер |
верного ответа в таблице 24 |
|||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 24 |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
4 |
|
||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
∞ |
|||
23. Чему равен lim ln |
sin x tg x ? Укажите номер верного ответа в таблице 25. |
||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 25 |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
4 |
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
– 1 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24. Чему равен |
lim |
|
x |
n |
|
? Укажите номер верного ответа в таблице 26. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→∞ e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 26 |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
4 |
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
– 1 |
|
∞ |
|||
25.При каком значении x функция f (x)= xe−x2 имеет максимум? Укажите номер верного ответа в таблице 27.
|
|
|
Таблица 27 |
||
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
2 |
– 2 |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
44
26.Чему равно значение функции f (x)= x2 (1 − x)2 в точке максимума? Укажите номер верного ответа в таблице 28.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 28 |
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
||
2 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
16 |
|
|
64 |
|
|
8 |
|||
|
|
|
|
|
|||||
27. При каком значении параметра a функция |
f (x)= ax3 +3 |
x имеет экстремум в точке |
|||||||
x =1? Укажите номер верного ответа в таблице 29. |
|
Таблица 29 |
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
1 |
2 |
|
|
|
|
4 |
|||
2 |
– 2 |
− 0,5 |
|
0,5 |
|||||
28.На каком промежутке функция f (x)= x4 −12x3 + 48x2 выпукла вверх? Укажите номер верного ответа в таблице 30.
|
|
|
Таблица 30 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
(4, +∞) |
|
(2, 4) |
(−∞, 2) |
(−4, − 2) |
29.В какой точке график функции f (x)= (x +1)2 −2ex имеет перегиб? Укажите номер верного ответа в таблице 31.
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
Таблица 31 |
||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
||||
x |
= |
|
|
x |
= − |
|
x |
= |
|
|
x = 1 |
|
||||
|
0 |
|
1 |
|
|
ln 2 |
|
|
ln 2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
30. Известно, что точка |
(1, 3) – точка |
перегиба |
графика функции |
y = ax3 +bx2 . |
||||||||||||
Определите число b − a и укажите номер верного ответа в таблице 32. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 32 |
|||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
– 1 |
|
|
6 |
|
2 |
|
|
|
|||
31. Определите все вертикальными асимптоты графика функции f (x)= |
x2 − x − 2 |
|
и |
|||||||||||||
(x −1) (x − 2) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
укажите номер верного ответа в таблице 33. |
|
|
|
|
Таблица 33 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|||
x =1, x = 2 |
x = −1, x = −2 |
|
|
x = 2 |
x =1 |
|
||||||||||
32.Для какой из указанных в таблице 34 функций прямая y = x − π2 является наклонной асимптотой при x → −∞ ? Укажите номер верного ответа.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 34 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
f (x)= x2 + |
π |
|
|
|
f (x)= x arctg x |
|
f (x)= x +arctg x |
||
2x |
|
||||||||
33. Чему равно значение функции |
f (x)= (x + 2)2 + 2x + 2 в |
точке минимума? Укажите |
|||||||
номер верного ответа в таблице 35. |
|
|
Таблица 35 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
0 |
|
|
|
1 |
|
–3 |
|
|
2 |
34. Какие точки являются точками экстремума для функции |
f (x)= 2 x + 3 |
x2 ? Укажите |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
номер верного ответа в таблице 36. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 36 |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
x =1 x = 2 |
x = −1 x = 0 |
|
x =1 |
x = −1 |
|||
35. Чему равно наибольшее значение функции |
f (x)= x − 2 x на промежутке [0; 9]? |
||||||
Укажите номер верного ответа в таблице 49. |
|
|
|
Таблица 37 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
0 |
|
1 |
|
3 |
|
– 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36.Какое положительное число, будучи сложенным с обратным ему числом, даст наименьшую сумму? Укажите номер верного ответа в таблице 38.
|
|
|
Таблица 38 |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
37.Для какой из перечисленных в таблице 39 функций формула Маклорена имеет следующий вид? Укажите номер верного ответа.
|
|
|
x |
|
2 |
3 |
|
|
n |
|
|
|
||
|
|
− |
+ |
x |
− |
x |
+... +(−1)n |
x |
+ϑ(xn ). |
|
||||
|
1! |
2! |
3! |
n! |
Таблица 39 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
e |
x |
|
|
e |
−x |
|
|
|
|
e |
−x |
−1 |
1−e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38.Для какой из указанных в таблице 40 функций формула Маклорена имеет следующий вид? Укажите номер верного ответа.
|
|
|
|
|
4 |
|
|
8 |
|
|
|
|
4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x |
− |
x |
+... + (−1)n−1 |
x |
+ ϑ(x4n ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2! |
4! |
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 40 |
|||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||
cos x |
|
|
|
cos x2 −1 |
|
|
|
1 −cos x2 |
|
|
|
|
|
cos x2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
′′ |
|
|
(9) |
|
|
|||||
39. Каков характер функции f (x) |
в точке |
x0 = 0 , если f |
f |
= f (0)= 0 , |
|||||||||||||||||||||||||
(0)= |
|
(0)= ... |
|||||||||||||||||||||||||||
f (10)(0)= 9 ? Укажите номер верного в таблице 41 ответа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 41 |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
|
максимум |
|
|
|
|
|
|
|
|
минимум |
|
|
|
|
|
|
перегиб |
|
|
|
|
||||||||
40. Каков |
характер поведения функции |
f (x) |
в точке |
|
x0 = 2 , |
|
|
если |
известно, |
что |
|||||||||||||||||||
′ |
′′ |
(6) |
|
|
|
|
|
|
(7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(2)= 0 , |
f (2)= −1? |
Укажите номер |
верного |
в таблице |
42 |
|
||||||||||||||||||||||
f (2) |
= f (2)=... = f |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
ответа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 42 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
максимум |
|
|
|
|
|
|
|
|
минимум |
|
|
|
|
|
|
перегиб |
|
|
|
|
||||||||
41. Как будет выглядеть формула Тейлора в окрестности точки |
|
|
x0 = −2 |
для функции |
|||||||||||||||||||||||||
x2 + 4x + 4 ? Укажите номер верного в таблице 43 ответа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 43 |
|||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x2 − 4x + 4 |
|
|
|
|
|
(x − 2)2 |
|
|
|
(x + 2)2 |
|
|
|
|
x + 2 −(x + 2)2 |
|
|
||||||||||||
42. Как будет выглядеть формула Тейлора в окрестности точки |
|
|
x0 = 2 |
для функции |
|||||||||||||||||||||||||
x2 −4x + 4 ? Укажите номер верного в таблице 44 ответа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 44 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 2)2 |
|
|
|
|
|||||
x2 − 4x + 4 |
|
|
|
(x − 2)2 |
|
|
|
x +2 −(x +2)2 |
|
|||||||||||
43. Как будет выглядеть формула Тейлора в |
окрестности |
точки |
x =1 для функции |
|
||||||||||||||||
x2 − 4x + 4 ? Укажите номер верного в таблице 45 ответа. |
|
|
Таблица 45 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 − 4x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
(x − 2)2 |
|
|
|
|
|
|
(x −1)2 − 2 (x −1)+1 |
|
||||
|
|
lim |
|
|
1 − cos(0,5x3 )− 81 sin(x6 ) |
|
|
|
|
|||||||||||
44. Вычислите предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, представляя функции формулой |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x→0 e−x4 + cos(x4 )+ sin(x4 )− 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
Маклорена, и укажите номер верного в таблице 46 ответа. |
|
|
Таблица 46 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
0 |
|
||||||
8 |
|
|
|
|
128 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
lim |
sin(x2 )+ e−x2 −1 |
− 0,5x4 |
|
|
|
|
||||||||||||
45. Вычислите предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
, представляя |
функции формулой |
|
|||||||||
|
|
|
|
ln(1 + x3 )− x3 |
|
|
||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Маклорена, и укажите номер верного в таблице 47 ответа. |
|
|
Таблица 47 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
||||||
46.Как выглядят первые три члена формулы Маклорена для функции x sin x22 ? Укажите номер верного в таблице 48 ответа.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 48 |
||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||
|
x3 |
− |
x7 |
+ |
x11 |
|
|
x2 |
+ |
x6 |
+ |
x10 |
|
|
x3 |
− |
x7 |
+ |
x11 |
|
|
2 |
12 |
240 |
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
24 |
480 |
2 |
48 |
3840 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47. Выясните поведение функции y = 2 cos x + x2 |
в точке x0 = 0 и укажите номер верного |
||
в таблице 49 ответа. |
|
|
Таблица 49 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
максимум |
минимум |
|
перегиб |
48.Как выглядят первые три члена формулы Маклорена для функции ch x ? Укажите номер верного в таблице 50 ответа.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 50 |
||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
x2 |
|
+ |
x4 |
|
1 − |
x2 |
|
+ |
x4 |
|
|
x2 |
− |
x4 |
+ |
x6 |
|
|
|
|
|
2! |
|
|
||||||||||||
2! |
|
4! |
|
2! |
|
4! |
|
4! |
6! |
|
||||||||
8. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Основная
1.Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Дифференциальное и интегральное исчисление.
М.:Наука,1987.
2.Н.С.Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.:Наука,1987.
3.Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1985.
Дополнительная
4.Г.Г.Судакова. Исследование функций и построение графиков с помощью производных. Метод. указания. Л.: ЛКИ, 1978.
47
5. Ю.Я.Стукалов, Э.А.Томберг. Дифференциальное исчисление функций одной переменной и его применение к исследованию функций. Метод. указ, Л.: ЛКИ,1985.
|
|
|
|
9. |
ОТВЕТЫ К ТЕСТУ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ |
3 |
2 |
2 |
4 |
1 |
2 |
4 |
2 |
4 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ |
3 |
2 |
2 |
3 |
3 |
1 |
2 |
4 |
1 |
3 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ |
4 |
2 |
3 |
1 |
1 |
3 |
4 |
3 |
3 |
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ |
3 |
3 |
2 |
3 |
3 |
2 |
3 |
2 |
2 |
3 |
2 |
1 |
48