f (0)= ln1 = 0 . Поскольку

(n)

n−1 (n −1)!

(n)

n−1

f

(x)= (−

1)

, то f

(0)= (−1)

(n −1)! . Тогда

(x +1)n+1

формулу Маклорена для функции f (x)= ln(1 + x) можно записать в виде

ln(x +1)= x −

1!

x2 +

2!

x3

−

3!

x4 +... + (−1)n−1

(n −1)!

xn

+ ϑ(xn ), или

2!

3!

4 !

n!

ln(x +1)= x −

x2

+

x3

−

x4

−... +(−1)n−1

xn

+ ϑ(xn ).

n

2

3

4

Пример 1

Представьте функцию

f (x)= e−x2

формулой Маклорена.

Решение

Формула

Маклорена

для

функции

f (x)= ex

имеет

вид

ex =1 +

x

+

x2

+

x3

+... +

xn

+ ϑ(xn ).

Чтобы получить формулу Маклорена для заданной

2!

1!

3!

n!

функции, нужно x заменить на − x2 .

2

x2

x4

x6

x2n

e−x

=1 −

+

−

+... + (−1)n

+ ϑ(x2n ).

1!

2!

3!

n!

Пример 2

f (x)= ln x

Представьте функцию

формулой Тейлора в точке x0 =1.

Решение

x =1 + y и ln x = ln(1 + y).

ln(1 + y)

Сделаем

замену

y = x −1,

тогда

Функцию

представим формулой Маклорена. Тогда

+ ϑ(xn ).

ln(y +1)= y −

y 2

+

y3

−

y 4

+... + (−1)n−1

y n

2

3

4

n

Заменяя в

последней

формуле

y = x −1 ,

получим

формулу Тейлора

для

функции

f (x)= ln x

в точке x0 =1

Пример 1

Вычислить предел, используя формулу Маклорена

lim

e−x2

−sin(x2 )− cos 2x

.

x3 sin x

x→0

e−x2 =1 −

x2

+

x4

−

x6

+ϑ(x6 ),

1!

2!

3!

sin x = x −

x3

+

x5

+ ϑ(x5 ),

3!

5!

36

sin x2 = x2 −

x6

+ ϑ(x6 ),

3!

cos 2x =1 −

4x2

+16x4

−

64x6

+ϑ(x6 ),

6!

2!

4!

под знаком предела, ограничиваясь при этом членами со степенями не выше, чем

x4 .

Тогда это выражение можно преобразовать так, чтобы предел легко вычислялся.

lim

e−x2

−sin(x2 )−cos 2x

=

x3 sin x

x→0

+ ϑ(x

4 )

1

− x2 +

x4

− x2 −

1 + 2x2 −

2 x4

2

= lim

3

=

3

x

3

4

x

→

0

x

x −

+ ϑ(x

)

6

x4

−

2 x4

+ ϑ(x4 )

−

x4

+ ϑ(x4 )

1

= lim

2

3

= lim

6

= −

.

x4 + ϑ(x4 )

x4 + ϑ(x4 )

6

x→0

x→0

Пример 2

Вычислить предел, используя формулу Маклорена

lim

cos (sin x)−1 + 0,5x2 + 2x4

.

x4

x→0

Решение

По формуле Маклорена

sin x = x −

x3

+ ϑ(x3 )= x −

x3

+ ϑ(x3 ),

3!

6

cos x =1 −

x2

+

x4

+ ϑ(x4 ).

2!

4!

Подставляя выражение для функции sin x

в формулу Маклорена для cos x , получим

cos(sin x)=1−

(x −

x3

)2

+

(x −

x3

)4

+ϑ(x4 ), или

6

6

2!

4!

cos(sin x)=1 −

x2

+

x4

−

x6

+

x4

+ ϑ(x4 )= 1 −

x2

+

5x4

+ ϑ(x4 ).

24

2

6

72

24

2

Теперь можно вычислить предел

+ 524x4 + ϑ(x4 )−1 + 0,5x 2 + 2x 4

lim

cos (sin x)−1 + 0,5x2 + 2x4

= lim

1 −

x2

= lim

2453 x4

53

.

2

=

x4

24

x→0

x→0

x 4

x→0 x4

Пример 3

Вычислить

1

с точностью ε = 0,001 .

4 e

Решение

Поскольку

1

= e−

1

= e−0,25 ,

то требуется вычислить значение функции f (x)= ex в

4

4 e