Доказательство

1) Возьмем произвольную точку x0 (a, b). Уравнение касательной к графику функции

в этой точке имеет вид:

y = f (x0 )+ f ′(x0 ) (x − x0 ).

Покажем, что в любой точке x (a, b) график функции расположен выше этой касательной.

Рассмотрим любую точку x (a, b), удовлетворяющую условию x > x0 , и вычислим разность ординат функции (f (x)) и касательной (y) в этой точке:

f (x)− y = f (x)−(f (x0 )+ f ′(x0 ) (x − x0 ))= (f (x)− f (x0 ))− f ′(x0 ) (x − x0 ).

Поскольку функция f (x) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на промежутке (x0 , x), то найдется точка c1 (x0 , x), для которой справедливо равенство

f (x)− f (x0 )= f ′(c1 ) (x − x0 ).

Учитывая это, разность ординат функции и касательной в точке x можно представить в виде

f (x)− y = f ′(c1 ) (x − x0 )− f ′(x0 ) (x − x0 )= (f ′(c1 )− f ′(x0 )) (x − x0 ).

Производная f ′(x) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на промежутке (x0 , с1). Значит, найдется точка c2 (x0 , с1), для которой справедливо равенство

f ′(c1 )− f ′(x0 )= f ′′(c1 ) (с1 − x0 ).

Учитывая это, разность ординат функции и касательной в точке x можно записать в виде f (x)− y = f ′′(c2 ) (c1 − x0 ) (x − x0 ).

25

Рис. 15

2) Рассмотрим любую точку x (a, b), удовлетворяющую условию x < x0 , и вычислим

разность ординат функции (f (x)) и касательной (y) в этой точке:

f (x)− y = f (x)− (f (x0 )+ f ′(x0 ) (x − x0 ))= (f (x)− f (x0 ))− f ′(x0 ) (x − x0 )= = −(f (x0 )− f (x))+ f ′(x0 ) (x0 − x).

Поскольку функция f (x) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на промежутке

(x, x0 ), то найдется точка c1 (x, x0 ), для которой справедливо равенство f (x0 )− f (x)= f ′(c1 ) (x0 − x).

Учитывая это, разность ординат функции и касательной в точке x можно записать в виде f (x)− y = − f ′(c1 ) (x0 − x)+ f ′(x0 ) (x0 − x)= (f ′(x0 )− f ′(c1 )) (x0 − x).

Производная f ′(x) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на промежутке (с1, x0 ). Значит, найдется точка c2 (с1, x0 ), для которой справедливо равенство

f ′(x0 )− f ′(c1 )= f ′′(c2 ) (x0 −c1 ).

Учитывая это, разность ординат функции и касательной в точке x можно записать в виде

Доказательство

аналогично доказательству теоремы 1.

Определение 3

Точки, в которых меняется характер выпуклости функции, называются точками перегиба.

Теорема 3

Если f ′′(x0 )= 0 и f ′′(x) меняет знак при переходе через точку x0 , то функция f (x) имеет в точке x0 перегиб.

ЗАМЕЧАНИЕ

Вторая производная может менять знак и в точке разрыва. Поэтому точками перегиба являются точки, в которых вторая производная обращается в ноль или бесконечна (а функция определена) и меняет знак.

26

Чтобы найти точки перегиба графика функции нужно:

•вычислить вторую производную заданной функции;

•найти все точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует;

•нанести эти точки, а также точки разрыва функции на числовую ось;

•определить знак второй производной на каждом из полученных интервалов;

•по знаку второй производной определить характер выпуклости функции;

•точками перегиба будут те точки, в которых меняется характер выпуклости функции, исключая точки разрыва.

Пример 1

Определите точки перегиба графика функции f (x)= ln(x2 +1).

Решение

положительна, то функция возрастает при всех значениях x .

27