d

(x2 )+ d (y2 )+ d (

xy )= 0 , или 2x dx + 2 y dy + x dy + y dx = 0 .

2

xy

Из полученного равенства определим дифференциал dy .

1

x

1

y

2x

+

1

y

2 y +

dy = −2x dx −

2

x

dx .

dx , или dy = −

2

y

2

x

2 y

+

1

x

y

2

Дифференциал является функцией двух переменных x и

x . Чтобы вычислить его

значение в некоторой точке

x0 , следует задать не только значение

x0 , но и величину

приращения аргумента

x .

Пример 1

Найти значение дифференциала для функции

y =

2x −1 в

точке

x0 = 5

при

приращении аргумента

x = 0,03 .

Решение

dy = f ′(x0 ) x ,

Так

как

дифференциал

производная

равна

′

1

−12

1

2 =

2x−1 , а значение производной в заданной точке x0 = 5 равно

f (x)= 2 (2x −1)

f ′(x0 )=

1

=

1

= 13 , то dy = 13 0,03 = 0,01 .

2 5−1

9

ЗАМЕЧАНИЕ

Если

f ′(x0 )≠ 0 , то дифференциал функции f (x)

в точке

x0

является бесконечно малой

того же порядка, что

x

и отличается от приращения функции на бесконечно малую более

высокого порядка, чем

x , то есть

y ≈ dy . Это используют в приближенных вычислениях.

Пусть требуется вычислить значение функции

f (x) в точке x0 +

x и число

x

достаточно мало.

Тогда

из формулы

приращения

функции

y = f (x0 +

x)− f (x0 )

можно получить соотношение

f (x0 + x)= f (x0 )+ y ≈ f (x0 )+ dy = f (x0 )+ f ′(x0 )

x ,

Пример 2

Вычислить

приближенноarctg1,02 ,

заменяя

приращение

функции

ее

дифференциалом.

Решение

y = arctg x в точке x =1,02 .

Требуется вычислить значение функции

Представим

x = x0 + x так, чтобы значение функции в точке x0

легко вычислялось, а

x было бы

достаточно (с учетом точности вычислений) малым.

10