Ясно, что в предложенной |
задаче |
удобно взять x0 =1 и |
|
x = 0,02 . Теперь |
||||||||||||
обозначим y0 = f (x0 ), а значение функции в точке x |
представим в виде |
y = y0 + y , |
||||||||||||||
где y – приращение функции, соответствующее приращению аргумента |
x . |
|
||||||||||||||
Учитывая замечание, приращение функции |
y приближенно |
заменим |
||||||||||||||
дифференциалом в точке |
x0 |
при |
приращении |
аргумента |
x = 0,02 . |
Получим |
||||||||||
y0 = arctg1 = |
π |
≈ 0,7852 , |
y′ = f ′(x)= |
1 |
, |
f ′(x0 )= |
1 |
= |
1 |
. |
|
Поскольку |
||||
|
|
|
|
|||||||||||||
4 |
1+x2 |
1+1 |
2 |
|
||||||||||||
y ≈ dy = |
1 |
0,02 = 0,01, то |
y = arctg1,02 ≈ 0,7852 + 0,01 = 0,7952 . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ
Следует заметить, что, поскольку приращение функции отличается от ее дифференциала на бесконечно малую более высокого порядка, чем x , то вычисления сделаны с абсолютной погрешностью, не превосходящей 0,02 .
|
Производные высших порядков |
|
|
Определение 1 |
|
|
|
Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точках x0 и x0 + |
x . Если существует |
||
конечный предел lim |
f ′(x0 + x)− f ′(x0 ) |
, то он называется второй производной |
|
|
|||
x→0 |
x |
|
|
функции y = f (x) в точке x0 и обозначается y′′, или f ′′(x0 ). |
|
||
При этом функция y = f (x) называется дважды дифференцируемой в точке x0 . |
|||
Аналогично определяются производные более высокого порядка |
f ′′′(x0 ), f iv (x0 ), …., |
||
f (n)(xo ). |
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ
Из определения производных высших порядков следует, что вторая производная – это производная от первой производной, третья производная – это производная от второй производной, и так далее.
Пример 1
Вычислить третью производную y |
′′′ |
|
|
x |
в произвольной точке x . |
|
функции |
y = ex |
|||||
|
||||||
Решение
Сначала вычислим первую производную, используя правило дифференцирования частного двух функций:
Упростим это выражение
y′′ = 1 − x ′ =e x
|
|
y′ |
|
|
x ′ |
1 e x − x e x |
||||||||
|
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
(e x )2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|
|||||
y |
′ |
= |
|
e x |
(1 − x) |
= |
1 − x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
e2x |
|
|
e x и вычислим вторую производную. |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
(1 − x)′e x −(1 − x) (e x )′ |
= −e x −(1 − x) ex . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(e x )2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2x |
|||
Полученное выражение можно упростить.
y |
′′ |
= |
−e x (1 +1 − x) |
= |
−(2 − x) |
= |
x − 2 |
|
e2x |
e x |
e x |
||||||
|
и вычислить третью производную.
11
x − 2 |
′ |
|
|
(x |
− 2)′e x −(x − 2) (e x )′ |
e x −(x − 2) e x |
|
|||||||||
y′′′ = |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
(e x )2 |
|
|
|
|
|||||||
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2x |
|
|||
которая после всех возможных упрощений примет вид |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
y |
′′′ |
= |
e x (1 − x + 2) |
= |
3 − x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
e2x |
|
e x . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получите выражение производной n – го порядка y(n) |
для функции y = ln(x +1). |
|||||||||||||||
Решение
Получим выражения для производных первого, второго, третьего и четвертого порядков, проводя последовательное дифференцирование заданной функции.
y′ = |
1 |
|
y′′ = − |
1 |
|
y′′′ = |
1 2 |
|
y |
IV |
= − |
1 2 3 |
|
|
, |
|
, |
|
, |
|
|
. |
|||||
x +1 |
(x +1)2 |
(x +1)3 |
|
(x +1)4 |
|||||||||
Из выражений для этих производных ясно, что каждое последующее дифференцирование увеличивает на единицу показатель степени выражения (x +1) в
знаменателе и добавляет в числитель натуральный сомножитель, на единицу больший предыдущего.
Знаки в производных чередуются, причем в производных четного порядка знак минус. Учитывая это, запишем выражение для производной произвольного ( n – го) порядка:
y(n) = (−1)n−1 1 2 3 (n −1).
(x +1)n
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n называется « n – факториал» и обозначается: n!=1 2 3 n .
Учитывая это обозначение, выражение для n – й производной функции y = ln(x +1) можно переписать в виде:
y(n) = (−1)n−1 (n −1)! .
(x +1)n
Пример 3
Получите выражение производной n – го порядка y(n) для функции y = cos x .
Решение |
|
|
|
Вычислим последовательно |
y′ = −sin x , |
y′′ = −cos x , y′′′ = sin x , y IV |
= cos x . |
Далее производные будут повторяться при n = n + 4 . |
|
||
Если использовать формулы |
приведения |
для вычисления значений |
функции |
cos(x + π2n ) при n =1, 2, 3, 4 , то легко убедиться, что они совпадают с производными
первого, второго, третьего и четвертого порядков.
Следовательно, производную n – го порядка для функции y = cos x можно записать
в виде
y(n) = cos(x + π2n ).
Пример 4 |
|
|
порядка от функции y = y(x), заданной |
||||
Вычислить производную второго |
|||||||
|
|
3 |
+3t |
2 |
+ 4 |
|
|
x = t |
|
|
. |
||||
параметрическими уравнениями |
|
|
|
2 |
|
||
|
y |
= sin |
t |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
12 |
|
||