20

Напомним, что согласно формуле (1.8), универсальная газовая постоянная R относится к одному молю газа, содержащему Nа молекул. Из последнего выражения видно, что удобно ввести новую постоянную k, представляющую собой универсальную газовую постоянную в расчете на одну молекулу:

Фундаментальная постоянная k называется постоянной Больцмана. Теперь формулу (1.16) можно записать в виде:

Интересно, что средняя кинетическая энергия молекул газа определяется только температурой газа. Следовательно, если два газа имеют молекулы разной массы, то среднеквадратичная скорость больше у газа с более легкими молекулами.

В заключение данного пункта приведем альтернативную форму уравнения состояния идеального газа, которую можно получить, если в уравнении (1.11) заменить универсальную газовую постоянную, воспользовавшись выражением

(1.17):

Такое же соотношение получится, если подставить величину ε из формулы (1.18) в основное уравнение молекулярно-кинетической теории.

1.7. Закон равнораспределения энергии по степеням свободы. Внутренняя энергия идеального газа

Как было показано ранее, средняя кинетическая энергия ε поступательного движения молекулы идеального газа может быть выражена через среднюю квадратичную скорость υ:

ε= m02υ2 .

Сдругой стороны, квадрат любого вектора можно представить как сумму

квадратов его координат:

υ2=υ2x+υ2y+υ2z.

Беспорядочность движения по всем направлениям означает, что должно

быть: υ2x=υ2y=υ2z . Следовательно,

υ2x=υ2y=υ2z=υ2/3

С другой стороны, величины m0υ2x/2, m0υ2y/2, m0υ2z/2 представляют собой энергию поступательного движения вдоль каждой из трех осей координат или энергию, приходящуюся на одну степень свободы.

Числом степеней свободы называется число независимых координат, которые необходимо задать для определения положения тела в пространстве.

Положение материальной точки в пространстве определяется тремя координатами - 3 степени свободы. Для того, чтобы задать положение

21

гантельки (т.е. тела, состоящего из двух жестко связанных материальных точек), необходимо задать положение ее центра масс (три координаты) и еще два угла, которые составляет ось гантельки с двумя из осей координат (угол с третьей осью координат не является независимым) - 5 степеней свободы. В общем случае несимметричное твердое тело имеет 6 степеней свободы.

В случае поступательного движения молекул газа, как мы уяснили, на каждую степень свободы приходится 1/3 общей энергии молекулы, т.е.

ε0 = 12 kT .

Если молекула состоит из двух и более атомов, полное число степеней свободы i увеличивается:

i=iпост+iвр.

При этом в тепловом равновесии на каждую степень свободы попрежнему будет приходиться энергияε0 . Таким образом, с учетом возможности вращательного движения сложных молекул средняя энергия ε движения одной молекулы равна:

Из сказанного ясно, что энергия движения двухатомных молекул равна 5kT/2 (iвр=2), а трех и более атомных молекул - 3kT (iвр=3).

Внутренняя энергия идеального газа. Как уже говорилось, расстояние между молекулами газа при нормальных условиях примерно в 10 раз больше характерного размера молекул. Это означает, что молекулы находятся далеко друг от друга и силой взаимодействия между ними, а следовательно энергией их взаимодействия, можно пренебречь. Именно такая модель невзаимодействующих молекул соответствует идеальному газу.

Внутренняя энергия идеального газа представляет собой суммарную кинетическую энергию всех молекул данной массы газа.

Средняя кинетическая энергия одной молекулы равна <ε0>=ikT/2, где i - число степеней свободы:

i=3 - для газов, молекулы которых состоят из одного атома и не имеют вращательных степеней свободы (это имеет место для всех инертных газов, например He;

i=5 - для O2, N2, H2 и большинства других простых газов, имеющих двухатомные молекулы;

i=6 - для CO2, паров воды H2O) и других газов, имеющих трех-и более атомные молекулы.

Поскольку в одном моле газа содержится Nа молекул, внутренняя энергия одного моля газа равна:

Если масса газа равна m, это составляет ν=m/µ молей. Следовательно, внутреняя энергия Um массы m газа определится формулой: