- •© ННГАСУ, 2003
- •1. Основы термодинамического и молекулярно-кинетического методов исследования
- •1.1. Исходные положения термодинамики и молекулярной физики
- •1.2. Масса и размеры молекул
- •1.3. Основные понятия термодинамики
- •Рис. 1.2. График равновесного цикла
- •1.4. Разреженный газ как термодинамическая система
- •1.4.1. Экспериментальные газовые законы
- •Рис. 1.4. График изобарического процесса в координатах {V,T}. Сплошная линия – процесс при давлении р1, пунктир соответствует процессу при давлении р2.
- •Рис. 1.5. График изохорического процесса в координатах {p,Т}. Сплошная линия – процесс при объеме V1, пунктир соответствует процессу при объеме V2.
- •Тренировочное задание
- •1.4.2. Уравнение состояния идеального газа
- •Ответы на вопросы тренировочного задания, сформулированные на стр. 11
- •От уравнения (1.7), записанного для одного моля газа
- •1.4.3. Примеры решения задач на уравнение состояния газа
- •Задача 1
- •Задача 2
- •Дано:
- •Дано:
- •1.5. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории
- •Давление молекул на стенку сосуда. Давление согласно определению равно силе, с которой газ воздействует на площадку единичной площади, перпендикулярно площадке:
- •Величина суммарной силы воздействия молекул на площадку по III закону Ньютона равна суммарной силе, действующей на систему молекул со стороны площадки. Следовательно, сила может быть найдена по II закону Ньютона для системы материальных точек:
- •1.6. Замечание о средней квадратичной скорости. Распределение Максвелла молекул по скоростям
- •1.7. Закон равнораспределения энергии по степеням свободы. Внутренняя энергия идеального газа
- •1.8. Примеры решения задач
- •Задача 1
- •Задача 2
- •2. Термодинамический подход
- •2.1. Первое начало термодинамики
- •2.1.1. Работа, производимая термодинамической системой
- •Рис. 2.1. Схема вычисления работы при расширении газа
- •Рис. 2.2. Работа системы при ходе процесса
- •2.1.2. Количество теплоты и теплоемкость
- •2.1.3. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам в идеальном газе
- •Для равновесных процессов, протекающих в газах, элементарная работа, производимая газом против внешних сил, состоит в работе расширения (2.1), поэтому первое начало термодинамики может быть записано в виде:
- •2.2. Адиабатический процесс
- •2.3. Второе начало термодинамики
- •2.3.1. Термодинамические циклы. Цикл Карно
- •2.3.2. Понятие об энтропии
- •3. Реальные газы. Фазовый переход жидкость - газ
- •3.1. Реальные газы. Уравнение Ван-Дер-Ваальса
- •3.2. Изотермы Эндрюса
- •3.3. Исследование уравнения Ван-Дер-Ваальса
- •3.4. Переход жидкости в пар
- •3.5. Примеры решения задач
- •Дано:
- •4. Зачетная контрольная работа № 2
- •4.1. Варианты домашних зачетных заданий
- •4.2. Приложение. Задачи, включенные в варианты зачетной контрольной работы № 2
- •Литература
26
2.1.2. Количество теплоты и теплоемкость
Теплота, как и работа, не является функцией состояния, а зависит от процесса изменения состояния системы. Поэтому элементарное количество
теплоты тоже обозначается частным дифференциалом δQ. В системе СИ теплота, как и другие виды энергии, измеряется в джоулях (Дж). На практике широкое распространение имеет и другая единица теплоты - калория (кал). Калория - это количество теплоты, необходимое для нагревания одного грамма воды на один градус. Одна калория составляет 4,18 джоуля:
1кал=4,18 Дж.
Спонятием теплоты тесно связано понятие теплоемкости. Теплоемкостью тела называется величина, равная количеству теплоты, которое надо сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один градус. Если к телу
подведено некоторое количество теплоты δQ, в результате чего температура его увеличилась на dT, теплоемкость тела Cтела равна:
Стела = |
δQ |
. |
(2.3) |
|
|||
|
dT |
|
В СИ теплоемкость тела измеряется Дж/К.
Если тело однородно, то используются понятия удельной теплоемкости c и молярной теплоемкости C.
Удельной теплоемкостью c называется теплоемкость единицы массы вещества. Значит, если масса тела равна m, то удельная теплоемкость равна
c=Cтела/m. В СИ c измеряется в Дж/(кг К).
Молярной теплоемкостью С называется теплоемкость одного моля вещества. Она измеряется в Дж/(моль К). Поскольку моль содержит массу
вещества, равную молярному весу µ, можно написать связь молярной и удельной теплоемкостей:
С=µс |
(2.4) |
Удобство введения понятий удельной и молярной теплоемкостей объясняется тем, что эти величины не зависят от массы тел, а определяются лишь свойством материала3, что облегчает составление таблиц. Если известна молярная или удельная теплоемкости процесса, элементарное количество теплоты можно подсчитать по формулам:
δQ = m c dT , или δQ = |
m |
C dT . |
(2.5) |
|
µ |
|
|
2.1.3. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам в идеальном газе
Для равновесных процессов, протекающих в газах, элементарная работа, производимая газом против внешних сил, состоит в работе расширения (2.1), поэтому первое начало термодинамики может быть записано в виде:
δQ=dU+pδV
3 Иногда теплоемкость существенно зависит также от характера процесса, сопровождающего теплообмен. Например, в случае газа различают теплоемкости процессов при постоянном давлении и постоянном объеме. Эти вопросы мы скоро подробно обсудим.}
27
Изохорный процесс (V=const). В этом случае, как уже отмечалось, работа, совершаемая газом против внешней силы, равна нулю. Первое начало термодинамики для изохорного процесса примет вид:
δQ=dU (2.7)
Таким образом, в изохорном процессе вся теплота, подведенная к газу, идет на увеличение его внутренней энергии. Используя уравнение (2.5), выразим изменение теплоты δQ через изменение температуры dT
δQ = mµ Cυ dT ,
где Сυ - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Согласно (2.7) приращение внутренней энергии при этом процессе примет вид:
dU = |
m |
Cυ dT , или |
dU |
= |
m |
Cυ . |
(2.8) |
|
µ |
|
dT |
|
µ |
|
|
С другой стороны ранее было получено выражение для внутренней энергии идеального газа в зависимости от числа i степеней свободы
составляющих его молекул: U=i mRT/(2µ). Продифференцировав это соотношение по T, получим формулу:
dU |
= |
im |
R , |
(2.9) |
dT |
|
2µ |
|
|
сравнивая которую с (2.8), получим выражение для Cυ:
Сυ |
= iR |
(2.10) |
|
2 |
|
Таким образом, молярная теплоемкость при постоянном давлении для идеального газа не зависит от термодинамических параметров, а определяется характером газа (числом степеней свободы молекул).
Изобарный процесс (p=const). Примером изобарного процесса может служить процесс теплообмена с газом, находящимся в цилиндре под поршнем (рис.2.1), нагруженным постоянной внешней силой. В соответствии с (2.2) работа, совершаемая газом против внешней силы, равна:
Ар=р (V2-V1) |
(2.11) |
и может быть найдена как площадь фигуры под линией изобары, которая в координатах (p,V) имеет вид прямоугольника. Уравнение первого начала
термодинамики для изобарного |
процесса имеет вид (2.6), в котором давление |
||
следует считать постоянным. |
|
|
|
Если обозначить через Ср |
|
молярную теплоемкость газа процесса, |
|
протекающего при постоянном давлении, то согласно (2.5) выражение для |
|||
притока тепла при изобарическом нагревании можно записать в виде: |
|
||
δQ = m C p dT . |
(2.12) |
||
|
|
µ |
|
Приравнивая правые части соотношений (2.6) и (2.12), получим: |
|
||
m C |
p |
dT = dU + p dV |
|
µ |
|
|
и делением обеих частей равенства на m dT/µ преобразуем эту формулу к виду:
28
C p = |
µ dU |
+ |
µ |
p dV . |
(2.13) |
||
|
|
|
|||||
m dT |
m |
||||||
|
|
dT |
|
Значение производной dU/dT, входящей в правую часть полученного равенства, можно подставить из формулы (2.9). При вычислении dV/dT можно
воспользоваться уравнением состояния pV=m/µ RT, но необходимо помнить, что процесс изобарический (p=const). В результате dV/dT=mR/(µp) и выражение (2.13) перейдет в следующее:
Сp=Cυ+R |
(2.14) |
Это соотношение называется уравнением Майера. Из него следует, что теплоемкость при изобарическом нагревании всегда больше такого же
процесса, происходящего при постоянном объеме (Ср>Cυ). Уравнение Майера справедливо в случае идеального газа, но вывод, что (Ср>Cυ) имеет место в случае любых газов и многих других систем. Он обязан способности тел расширяться при нагревании. При изохорном нагревании подведенная теплота идет только на увеличение внутренней энергии системы, а при изобарном процессе дополнительно затрачивается на работу, производимую телом при его расширении против сил внешнего давления. Поэтому для нагревания на один градус в изобарическом процессе требуется затратить большее количество тепла, а процесс имеет большую теплоемкость.
Таким образом, молярная теплоемкость Cр идеального газа в процессе изобарического нагревания тоже не зависит от термодинамических параметров:
Сp = Cυ + R = |
i + 2 |
R |
(2.15) |
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
и количество теплоты при изобарном нагревании от температуры T1 до T2 |
||||
может быть подсчитано как: |
|
|
|
|
Qp = m C p (Tp −T1 ) . |
|
|||
µ |
|
|
|
|
Изотермический процесс (T=const). Согласно первому началу |
||||
термодинамики для любого процесса справедливо: |
|
|||
Q=∆U+A |
|
|||
Для идеального газа внутренняя |
|
энергия U$ |
определяется его |
|
температурой T, следовательно для изотермического процесса (поскольку ∆T=0 |
||||
и ∆U=0) первое начало дает: |
|
|
|
|
QT=A. |
(2.16) |
|||
Таким образом, при изотермическом процессе вся подведенная теплота |
||||
расходуется на совершение работы газа. |
При этом подвод тепла не приводит к |
изменению температуры газа. Теплоемкость газа в таком процессе бесконечна (CТ=∞). Действительно, какое бы ни было большое количество тепла подведено к газу, изменить его температуру (даже на один градус) не удастся (поскольку
T=const).
Найдем работу расширения газа при изотермическом процессе. В соответствии с формулой (2.2)
V2
A = ∫p dV .
V1