Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях

Пусть функция z = f(х, у) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции

,

откуда

. (15)

Подставляя в формулу (15) вместо z, согласно (13), развернутое выражение для dz (14), получим приближенную формулу

(16)

верную с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно х и у.

Покажем, как используются формулы (13) и (16) для приближенных вычислений.

Пример 19. Вычислить объем материала, нужного для изготовления цилиндрического стакана следующих размеров (рис. 14): радиус внутреннего цилиндра R, высота внутреннего цилиндра Н, толщина стенок и дна стакана k.

R

H

k

Рис. 4

Решение. Дадим два решения этой задачи: точное и приближенное.

Точное решение. Искомый объем v равен разности объемов внешнего цилиндра и внутреннего цилиндра. Так как радиус внешнего цилиндра равен R + k, а высота H + k, то

или . (17)

Приближенное решение. Обозначим через f объем внутреннего цилиндра, тогда . Это – функция двух переменныхR и Н. Если увеличим R и Н на k, то функция f получит приращение f; но это и будет искомый объем v, т.е. v = f.

На основании соотношения (15) имеем приближенное равенство v  df, или . Но так как,,R = Н = k, то получаем

. (18)

Сравнивая результаты (17) и (18), видим, что они отличаются на величину , состоящую из членов второго и третьего порядка малости относительноk.

Применим эти формулы к числовым примерам.

Пусть R = 4 см, Н = 20 см, k = 0.1 см.

Применяя (17), получим точно

.

Применяя формулу (18), получим приближенно

.

Следовательно, приближенная формула (18) дает ответ с погрешностью, меньшей 0.3, что составляет , т.е. менее 2% измеренной величины.

Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях

Пусть некоторая величина и является функцией величин х, у, z, …, t:

и = f(x, y, z, …, t),

причем, определяя каким-то способом значения величин х, у, z, …, t, мы допускаем погрешности х, у, …, t. Тогда значение и, вычисленное по неточным значениям аргументов, получится с погрешностью

и = f(x + х, y + у, z + z, …, t + t)  f(x, y, z, …, t).

Ниже мы займемся оценкой погрешности и, если известны погрешности х, у, …, t.

При достаточно малых абсолютных значениях величин х, у, …, t можем приближенно заменить полное приращение полным дифференциалом:

.

Здесь значения частных производных и значения погрешностей аргументов могут быть как положительными, так и отрицательными. Заменяя их абсолютными величинами, получим неравенство

.

Если через |^*x|, |^*y|, …, |^*t|, |^*u| обозначим максимальные абсолютные погрешности соответствующих величин (границы для абсолютных величин значений погрешностей), то можно, очевидно, принять

. (19)

Отношение погрешности х некоторой величины к приближенному значению х этой величины называется относительной погрешностью величины. Будем его обозначать х:

.

Максимальной относительной погрешностью величины х называется отношение максимальной абсолютной погрешности к абсолютной величине х и обозначается ^*х:

. (20)

Для оценки максимальной относительной погрешности функции и разделим все числа равенства (19) на и=f(x, y, z, …, t:

,

но

, , …,.

Поэтому равенство (20) можно переписать так:

, (21)

или коротко

.

Из формул как (20), так и (21) следует, что максимальная относительная погрешность функции равняется максимальной абсолютной погрешности логарифма этой функции.

Замечание. Если и = х – у, то . Еслих и у близки, то может оказаться, что будет очень велика по сравнению с определяемой величинойх – у. Это обстоятельство следует учитывать при производстве вычислений.

Задания для самостоятельной работы

Найти полный дифференциал и полное приращение функции u(x,y) в точке (2; 1) при х = 0.1, у = 0.1.

41. u = x+y .	42. .
43. .	44. .

Найти полный дифференциал функции трех переменных х, у, z.

45. .	46. .
47. .	48. .

Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно вычислить:

49. .	50. .
51. .	52. .

53. На сколько изменятся диагональ и площадь прямоугольника со сторонами

x = 6 м и y = 8 м, если первая сторона увеличится на 2 мм, а вторая сторона уменьшится на 5 мм?

54. При измерении радиуса основания R и высоты H цилиндра были получены следующие результаты:R=2,50,1 мм; Н=4,00,2 мм. С какой абсолютной погрешностью  и относительной погрешностью  может быть вычислен объем цилиндра?

55. Стороны треугольника a =200 м  2 м, b =300 м  5 м и угол между ними

С = 60^о1^о. С какой абсолютной погрешностью может быть вычислена третья сторона?

7. Производная сложной функции. Полная производная.

Полный дифференциал сложной функции