- •Определение функции нескольких переменных
- •2. Геометрическое изображение функции двух переменных
- •Задание для самостоятельной работы.
- •3. Частное и полное приращение функции
- •Задание для самостоятельной работы.
- •4. Непрерывность функции нескольких переменных
- •Задание для самостоятельной работы.
- •5. Частные производные функции нескольких переменных
- •Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных
- •Задания для самостоятельной работы.
- •6. Полное приращение и полный дифференциал
- •Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях
- •Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях
- •Предположим, что в уравнении
- •Получаем
- •Задание для самостоятельной работы
- •8. Производная от функции, заданной неявно
- •9. Частные производные и дифференциалы различных порядков Пусть имеем функцию двух переменных
- •Задание для самостоятельной работы
- •10. Поверхности уровня. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •11. Производная по направлению. Градиент
- •Будем предполагать, что функция и(х, у, z) непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области d.
- •Уравнение линии уровня, проходящей через данную точку, будет
- •Задание для самостоятельной работы
- •14. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы)
- •Определить условные экстремумы функций:
- •15. Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов
- •В этом случае выражение (61) имеет вид
- •16. Особые точки кривой
11. Производная по направлению. Градиент
Рассмотрим в области D функцию и = и(х, у, z) и точку М(х, у, z). Проведем из точки М вектор S, направляющие косинусы которого cos , cos , cos (рис. 5). На векторе S на расстоянии s от его начала рассмотрим точку М1(х + х, у + у, z + z). Таким образом,
z
z S
M1
x
y
0
у
х
Рис.
5
Будем предполагать, что функция и(х, у, z) непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области d.
Полное приращение функции представим так:
, (36)
где 1, 2 и 3 стремятся к нулю при s 0. Разделим все члены равенства (36) на s:
. (37)
Очевидно, что
, ,.
Следовательно, равенство (37) можно переписать так:
. (38)
Предел отношения приs 0 называется производной от функции и = и(х, у, z) в точке (х, у, z) по направлению вектора S и обозначается , т.е.
.
Таким образом, переходя к пределу в равенстве (38), получим
. (39)
Из формулы (39) следует, что, зная частные производные, легко найти производную по любому направлению S. Сами частные производные являются частным случаем производной по направлению. Так, например, при = 0, ,получаем:
.
Пример 37. Дана функция . Найти производнуюв точкеМ(1, 1, 1) в направлении вектора S = 2i + j + 3k.
Находим направляющие косинусы вектора S:
, ,.
Следовательно,
.
Частные производные
, ,
в точке М(1, 1, 1) будут
, ,.
Итак,
.
В каждой точке области D, в которой задана функция u = u(x, y, z), определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных ,,этой функции в соответствующей точке:
.
Этот вектор называется градиентом функции u(x, y, z). Говорят, что в области D определено векторное поле градиентов. Докажем, следующую теорему, устанавливающую связь между градиентом и производной по направлению.
Теорема. Пусть дано скалярное поле и = u(x, y, z) и определено в этом скалярном поле поле градиентов
.
Производная по направлению некоторого вектораS равняется проекции вектора grad и на вектор S.
Доказательство. Рассмотрим единичный вектор S0, соответствующий вектору S:
S0 = i cos + j cos + k cos .
Вычислим скалярное произведение векторов grad и и S0:
.
Выражение, стоящее в правой части этого равенства, есть производная от функции u(x, y, z) по направлению вектора S. Следовательно, мы можем написать
.
Если обозначим угол между векторами grad и и S0 через (рис. 6), то можно написать
(40)
или
.
Теорема доказана.
grad
u grad
u
и = с
S М Р
S S0
us
us
Рис.
6 Рис.
7
На основании доказанной теоремы наглядно устанавливается связь между градиентом и производной в данной точке по любому направлению. В данной точке М(х, у, z) строим вектор grad и (рис. 7). Строим сферу, для которой grad и является диаметром. Из точки М(х, у, z) проводим вектор S. Обозначим точку пересечения вектора S с поверхностью сферы через Р. Тогда очевидно, что МР = |grad u| cos, если угол между направлениями градиента и отрезка МР (при этом ), т.е.. Очевидно, что при изменении направления вектораS на противоположное производная изменит знак, а ее абсолютная величина останется прежней.
Установим некоторые свойства градиента.
1. Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение, если направление вектора S совпадает с направлением градиента; это наибольшее значение производной равно |grad u|.
Справедливость этого утверждения непосредственно следует из равенства (40): наибольшее значение будет при = 0, и в этом случае
.
2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad и, равна нулю.
Это утверждение следует из формулы (40). Действительно, в этом случае
, cos = 0 и .
Пример 38. Дана функция и = х2 + у2 + z2.
Определим градиент в точке М(1, 1, 1). Выражение градиента этой функции в произвольной точке будет
grad u = 2xi + 2yj + 2zk.
Следовательно,
grad u|M = 2i + 2j + 2k, .
Определим производную от функции и в точке М(1, 1, 1) в направлении градиента. Направляющие косинусы градиента будут
, ,.
Следовательно,
,
т.е.
.
Замечание. Если функция и = и(х, у) есть функция двух переменных, то вектор
лежит в плоскости Оху. Докажем, что grad и направлен перпендикулярно к линии уровня и(х, у) = с, лежащей в плоскости Оху и проходящей через соответствующую точку. Действительно, угловой коэффициент k1 касательной к линии уровня и(х, у) = с будет равен . Угловой коэффициентk2 градиента равен . Очевидно, чтоk1k2 = 1. Это и доказывает справедливость нашего утверждения. Аналогичное свойство имеет градиент функции трех переменных.
Пример 39. Определить градиент функции в точкеМ(2, 4).
Здесь ,. Следовательно,
grad u = 2i + j.