- •Определение функции нескольких переменных
- •2. Геометрическое изображение функции двух переменных
- •Задание для самостоятельной работы.
- •3. Частное и полное приращение функции
- •Задание для самостоятельной работы.
- •4. Непрерывность функции нескольких переменных
- •Задание для самостоятельной работы.
- •5. Частные производные функции нескольких переменных
- •Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных
- •Задания для самостоятельной работы.
- •6. Полное приращение и полный дифференциал
- •Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях
- •Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях
- •Предположим, что в уравнении
- •Получаем
- •Задание для самостоятельной работы
- •8. Производная от функции, заданной неявно
- •9. Частные производные и дифференциалы различных порядков Пусть имеем функцию двух переменных
- •Задание для самостоятельной работы
- •10. Поверхности уровня. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •11. Производная по направлению. Градиент
- •Будем предполагать, что функция и(х, у, z) непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области d.
- •Уравнение линии уровня, проходящей через данную точку, будет
- •Задание для самостоятельной работы
- •14. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы)
- •Определить условные экстремумы функций:
- •15. Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов
- •В этом случае выражение (61) имеет вид
- •16. Особые точки кривой
Определить условные экстремумы функций:
136. при. |
137. при . |
138. при. |
139. при. |
140. при .
141. при.
142. при .
143. при .
144. при.
145. при ,.
15. Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов
Пусть на основании эксперимента требуется установить функциональную зависимость величины у от величины х:
у = (х).
Пусть в результате эксперимента получено п значений функции у при соответствующих значениях аргумента.
Результатызаписаны в табл. 1:
Таблица 1
-
х
х1
х2
хп
у
у1
у2
уп
Вид функции у = (х) устанавливается или из теоретических соображений, или на основании характера расположения на координатной плоскости точек, соответствующих экспериментальным значениям. (Эти точки будем называть «экспериментальными точками».) Пусть, например, экспериментальные точки расположены на координатной плоскости так, как изображено на рис. 8. Учитывая, что при проведении эксперимента имеют место погрешности, естественно предположить, что искомую функцию у = (х) можно искать в виде линейной функции у = ах + b. Если экспериментальные точки расположены так, как указано на рис. 9, то естественно искать функцию у = (х) в виде у = ахb и т.д.
у
0
х Рис.
9
0
х1
х2
х3
х4
х
у
Рис.
8
При выбранном виде функции у = (х, а, b, с, …) остается подобрать входящие в нее параметры а, b, с, … так, чтобы в каком-то смысле она наилучшим образом описывала рассматриваемый процесс.
Широко распространенным методом решения данной задачи является метод наименьших квадратов. Этот метод заключается в следующем. Рассмотрим сумму квадратов разностей значений yi, данных экспериментом, и функции (х, а, b, с, …) в соответствующих точках:
. (61)
Подбираем параметры а, b, с, … так, чтобы эта сумма имела наименьшее значение:
.
Итак, задача свелась к нахождению значений параметров а, b, с, …, при которых функция S(а, b, с, …) имеет минимум.
На основании теоремы 1 (необходимое условие экстремума) следует, что эти значения а, b, с, … удовлетворяют системе уравнений
, ,, …,
или в развернутом виде:
(62)
Здесь имеется столько уравнений, сколько и неизвестных. В каждом конкретном случае исследуется вопрос о существовании решения системы уравнений (62) и о существовании минимума функции S(а, b, с, …).
Рассмотрим несколько случаев определения функции у = (х, а, b, с, …).
I. Пусть у = ах + b. Функция S(a, b) в этом случае имеет вид (см. выражение (61))
.
Это функция с двумя переменными а и b (хi и уi – заданные числа; см. табл. 1). Следовательно,
т.е. система уравнений (62) в этом случае принимает вид
(63)
Получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными а и b. Очевидно, что система имеет определенное решение и что при найденных значениях а и b функция S(a, b) имеет минимум.
II. Пусть за аппроксимирующую функцию взят трехчлен второй степени
y = ax2 + bx + c.