Методичка для тех.спец. математика
.PDF49
30 . [f (x)ϕ(x)]′ = f ′(x)ϕ(x) + f (x)ϕ′(x); (Cf (x))′ = Cf (x), т.е. постоян-
ный множитель можно выносить за знак производной.
|
|
|
|
0 |
|
f (x) |
′ |
|
f ′(x)ϕ(x) − ϕ′(x)f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ϕ(x) |
|
|
|
ϕ2 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3. Производная сложной функции определяется формулой |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
= y′ |
u′ |
= f ′ |
[u(x)]u′ |
(x), |
|
|
|
|
|
(5) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
u |
|
x |
|
u |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где y(x) = f[u(x)], u = u(x) − промежуточная переменная. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица производных |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(x α )′ |
= αx α−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9. (arccos x)′ = − |
|
|
1 |
|
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1. |
|
|
′ |
|
1 ; |
1 − x 2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
′ |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
( |
x ) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
(a x )′ |
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
= a x ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
10. (arctgx)′ = |
|
1 |
|
|
; |
|
|
||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
(ex )′ |
= ex |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(loga x)′ = |
1 |
= |
1 |
loga e |
|||
x ln a |
x |
||||||
3. |
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
||
(ln x)′ = |
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
4.(sin x)′ = cos x ;
5.(cos x)′ = −sin x ;
6. |
(tgx)′ = |
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
cos2 |
x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
7. |
(ctgx)′ = − |
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
sin 2 |
|
||||||||||
|
|
|
x |
||||||||
8. |
(arcsin x)′ = |
|
|
|
|
1 |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 − x 2 |
11. (arcctgx)′ = − |
|
1 |
; |
|
|
||
1 |
+ x 2 |
|
|
|
x |
− e |
−x ′ |
|
|
|
|
||||||||
12. |
′ |
|
|
e |
|
|
|
|
|
= chx ; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(shx) |
= |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
+ e |
−x ′ |
|
|
|
|
||||||||
13. |
′ |
|
e |
|
|
|
|
|
= shx ; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(chx) |
= |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(thx)′ |
shx ′ |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
14. |
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
chx |
|
|
ch 2 x |
||||||||||||
|
|
chx ′ |
|
1 |
|
||||||||||||
15. |
(cthx)′ = |
|
|
|
|
|
= − |
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
shx |
|
|
|
|
sh 2 x |
Используя (5), можно вывести таблицу производных для сложных функций. Студент обязан выучить наизусть таблицу производных.
50
I) [u(x)α ]′x
u(x)′x
( u(x ) )′
II) a x
Таблица производных сложных функций
= α u α−1 (x)u′(x)
= |
u′(x) |
1 ′ |
= − |
u′(x) |
|||||
|
|
; |
|
|
x |
|
. |
||
2 |
u(x) |
u(x) |
u 2 (x) |
= a u (x ) (ln a) u′(x); (eu (x ) )′ = eu(x ) u′(x).
III) [loga u(x)]′x |
= |
|
|
|
|
u′(x) |
; |
|
|
[ln u(x)]′ = |
|||||||||||||||
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
IV) [sin u(x)]′x |
|
|
|
(x)ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= [cos u(x)] u′(x). |
|||||||||||||||||||||||||
V) [cos u(x)]′x |
= −[sin u(x)] u′(x). |
||||||||||||||||||||||||
VI) [tg u(x)]′x = |
|
|
|
|
u′(x) |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
cos2 |
u(x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
VII) [ctg u(x)]′x − |
|
u′(x) |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
sin2 u(x) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
VIII) [arcsin u(x)]′x = |
|
|
|
|
u′(x) |
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 − u 2 (x) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
IX) [arccos u(x)]′x |
|
= − |
|
|
u′(x) |
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 − u 2 (x) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
X) [arctg u(x)]′x |
= |
|
|
|
u′(x) |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
+ u 2 (x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
XI) [arcctg u(x)]′x |
|
= − |
|
|
|
u′(x) |
. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 + u 2 (x) |
|
|
|
|||||||||||||||
XII) [sh u(x)]′x = [ch u(x)]u′(x). |
|
||||||||||||||||||||||||
XIII) [ch u(x)]′x |
= [sh u(x)]u′(x). |
|
|||||||||||||||||||||||
XIV) [th u(x)]′x |
= |
u′(x) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ch u(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
XV) [cth u(x)]′x |
= − |
u′(x) |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
sh 2 u(x) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u′(x) u(x) .
51
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x |
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x |
|
|||||||||||||||
ПРИМЕР 1. y′ = arctg |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
u(x) = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 − x ′ |
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
1 + x x |
|
|
|
|
1 − x |
|
|
|
|
(1 + x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 − x |
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 + |
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(1 − x)′(1 + x) − (1 + x)′(1 − x) |
|
−1 − x −1 + x |
|
|
|
1 − x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1 + x) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4(1 + x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=
.
4. Логарифмическая производная. При дифференцировании показатель-
но-степенных функций y = u(x)ϑ(x) (u(x) > 0) поступают следующим обра-
зом. Сначала предыдущее равенство почленно логарифмируют и после этого
почленно дифференцируют, а именно:
(ln y)′ = [ϑ(x)ln u(x)]′ = ϑ′(x)ln u(x) − u′((x)) ϑ(x),
u x
|
y′(x) |
= ϑ′(x)ln u(x) + |
u′(x) |
|
ϑ(x). Отсюда |
|
|
|
||||
|
|
u(x) |
|
|
|
|||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ϑ(x) |
|
|
|
u′(′x) |
|
|
|
||
|
|
y′(′x) = u(x) |
|
ϑ′(′x)ln u(x) + |
|
|
ϑ(x) |
= |
||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u(x) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= u(x)ϑ(x)[ln u(x)]ϑ′(′x)+ ϑ(x)u(x)ϑ(x)−1 u′′. |
(6) |
|||||||||
Очевидно, |
что первое слагаемое суммы (6) |
получается в результате |
||||||||||
дифференцирования y = u(x)ϑ(x ) |
как показательной функции (см. формулу II |
из таблицы производных), а второе слагаемое - как результат дифференцирования степенной функции (см. формулу I из той же таблицы).
ПРИМЕР 2. Найти производную функции y = xarcsin x .
Решение. (ln y)′ = [(arcsin x)ln x]′ = |
|
|
ln x |
|
+ |
arcsin x |
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y′ = (x arcsin x )′ |
|
|
|
|
|
|
1 − x 2 |
|
|
x |
||||
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x arcsin x |
|
|
+ arcsin x . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52
§2. Производная функции, заданной неявно
1. Как найти производную функции, заданной неявно, мы покажем на конкретных примерах. При этом используются стандартные правила дифференцирования явно заданных функций.
ПРИМЕР 1. sin(y − x 2 )− ln(y − x 2 )+ 2 |
|
|
|
|
− 3 = 0 . Найти y′ . |
|||
y − x 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
Решение. Дифференцируя почленно данное уравнение и учитывая, что |
||||||||
y = y(x) (функция y(x) задана неявно), получим |
|
|
||||||
[cos(y − x 2 )](y − x 2 )′ − (y − x 2 )′ |
+ 2 |
(y |
− x 2 )′ |
|
|
= 0 , |
||
|
|
|
|
|
||||
y − x 2 |
|
2 y − x 2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(y − x 2 )′ |
cos(y − x 2 )− |
|
+ |
|
|
|
|
= 0, y′ − |
||
y − x |
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
y − x |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: y′ = 2x .
2. Производная функции, заданной параметрически. Если функция y = f (x) задана параметрически: {x =
y′′ = f ′(′x) = |
y′t |
|
= |
ψ′(t). |
|
x′t′ |
|||||
x |
|
ϕ′(′t) |
|||
|
|
|
|
2x = 0, y′ = 2x .
ϕ(t), y = ψ(t)}, то
(1)
ПРИМЕР 1. Найти y′ |
= |
dy |
, если x = e−t sin t |
, y = e t cos t. |
||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Согласно (1) |
|
|
|
||||||
y′ |
= |
(e t cos t)′ |
= |
et cos t − et sin t |
= e2t . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
(e−t |
sin t)′ |
− e−t sin t + e−t cos t |
|
|
||||
Ответ: y′ |
= e2t . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
§3. Приложения производной в геометрии и механике
ПРИМЕР 1. Составить уравнение касательной и нормали к цепной линии
y = ch x в т. x = 2 ln 2 .
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. y′ = |
|
sh |
|
|
; y′(2 ln 2) = |
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
eln 2 + e−ln 2 |
|
|
2 + |
1 |
|
|
|
|
|||
y(2 ln 2) = |
|
= |
|
|
= |
5 |
; |
|||||
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
eln 2 − e− ln 2 |
|
2 − |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
= |
|
|
= |
3 |
; |
||
|
2 |
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||
2 |
4 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
y − |
5 |
|
= |
3 |
(x − 2 ln 2) − уравнение касательной; |
|||
|
|
|
||||||
4 |
|
8 |
|
|
|
|||
y − |
5 |
= − |
8 |
(x − 2 ln 2) − уравнение нормали. |
||||
|
|
|||||||
4 |
|
|
3 |
|
Ответ: 3x − 8y +10 − 6 ln 2 = 0; |
32x +12y −15 − 64 ln 2 = 0. |
|||||||||||||||||
ПРИМЕР 2. По кубической параболе y = x 3 |
движется точка так, что ее |
|||||||||||||||||
ордината изменяется в зависимости от времени |
t |
по закону y = at 3 . Какова |
||||||||||||||||
скорость изменения абсциссы в зависимости от времени ? |
||||||||||||||||||
Решение. y′ |
= 3x 2 x′ , |
x′ |
|
|
y′ |
|
3at 2 |
|
|
3at 2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= |
|
t |
= |
|
= |
|
|
|
|
|
= 3 a − постоянна и не |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
t |
t |
t |
|
3x 2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3y 3 |
|
a 3 t 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
зависит от t .
Ответ: x′t = 3a .
§4. Приращение и дифференциал функции
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. |
Если в точке x0 |
приращение |
y(x 0 ) = |
f (x 0 ) |
||||||||
функции y = f (x) представимо в виде суммы |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y(x0 ) = A |
x0 + α |
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||
двух слагаемых: I = A |
x 0 − линейно относительно приращения |
x0 аргумен- |
||||||||||
та x . (A = A(x 0 )); |
II = α − бесконечно малая величина (БМВ) при |
x 0 → 0 |
||||||||||
более высокого порядка малости, чем |
x0 , т.е. |
lim |
α |
|
= 0 , то f(x) называ- |
|||||||
x 0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
x0 →0 |
|
|
|
|
|||
ется дифференцируемой в |
т. x0 . При этом |
линейная |
часть |
приращения |
||||||||
A(x 0 ) x 0 называется дифференциалом функции |
|
|
|
|
|
|
||||||
y = f (x) в т. x0 , соответствующим приращению |
x0 аргумента x . |
|
|
|||||||||
Дифференциал обозначается одним из символов df (x 0 ), dy(x 0 ). Итак, по |
||||||||||||
определению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
df (x0 ) = dy(x0 ) = A(x0 ) |
x0 . |
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||
Теорема 1. |
Функция y = f (x) дифференцируема в т. x0 |
(см.(1)) |
ко- |
гда конечная производная f ′(x 0 ) в т. x0 . Следовательно, согласно (2), дифференциал функции вычисляется по формуле
df (x0 ) = f ′(x0 ) x . |
(3) |
Если y = x , то в |
|
dy(x0 ) = d(x0 ) = x0 , |
(4) |
т.е. полное приращение функции y = x совпадает с его дифференциалом. В силу этого вместо (3) можно написать
dy(x0 ) = df (x0 ) = f ′(x0 )dx0 . |
(5) |
54
Точка x 0 D(y) − произвольная точка. В силу этого в формулах (3), (5)
нижний индекс (нолик) можно отбросить и тогда будем иметь |
|
df (x) = f ′(x) x = f ′(x)dx . |
(6) |
2. Приложения дифференциала в приближенных вычислениях. |
y = f(x) |
Согласно (6) приращение дифференцируемой в т. x функции |
|
можно представить в виде |
|
y(x) = f (x) = df (x) + α(x, x) = f ′(x) x + α(x, x). |
(7) |
При достаточно малых x вместо (7) можно написать |
|
y(x) ≈ f ′(x) x . |
(8) |
Последняя формула может быть использована в приближенных вычисле- |
|
ниях, если ее записать так: |
|
f (x + x) ≈ f (x)+ f ′(x) x . |
(9) |
ПРИМЕР 1. Найти приближенное значение 415,8 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 4 |
|
. Согласно (9) |
|||||||
|
Решение. |
4 |
15,8 |
16 − 2 |
. |
|
|
Рассмотрим |
x |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 x + x ≈ 4 x + (4 |
|
x )′ |
x = |
4 |
|
x + |
1 |
x 4 |
x . В нашем случае x = 16, x = −0,2 : |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
16 + (− 0,2) |
≈ 4 |
|
|
|
+ |
1 |
(16)− |
3 |
(− 0,2) = 2 |
− |
0,2 |
= 2 − |
|
1 |
= 2 − 0,006 = 1,994 . |
|||||||||||||||||||
16 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
160 |
|
|
|
||||||||||
|
Ответ: 1,994 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ПРИМЕР 2. |
Найти приближенное значение ln tg47015′. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение. ln tg(x + |
x) ≈ ln tgx + |
|
|
x |
|
. |
|
tg47015′ = |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
tgx cos2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
= tg(450 + 2015′). Градусы надо перевести в радианы, т.к. производные от тригонометрических функций найдены при условии, что их аргументы измеряются
в радианах. Таким образом 10 |
= |
π |
|
|
радиан). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1800 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
450 + 2015′ = π + |
π |
+15 |
|
π |
|
|
= π + |
|
π |
1 + |
1 |
|
= π + |
π |
, x = π , x = |
π |
. |
||||||||
90 |
|
180 |
|
|
|
|
|
80 |
|||||||||||||||||
4 |
|
4 |
4 |
|
90 |
|
8 |
|
4 80 |
4 |
|
||||||||||||||
0 |
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|||
ln tg47 15′ ≈ ln tg |
4 + |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
4 |
= |
|
= 0,16 |
|
|
|
|||||||
80tg |
π |
|
|
2 π |
|
|
80 |
20 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
cos |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 0,16 .
55
§5. Правило Лопиталя - Бернулли раскрытия неопределенностей
Теорема 1. Пусть функции f (x) и ϕ(x) определены и дифференцируе-
мы в окрестности т. a , за исключением, быть может, самой т. a , lim f (x) = 0 ; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
||
lim ϕ(x) = 0, ϕ(x) и ϕ′(x) ≠ 0 в этой окрестности. Тогда, если lim |
f ′(x) |
, |
то |
|||||||||||
|
||||||||||||||
x→a |
|
|
|
|
|
|
x→a ϕ′(x) |
|
||||||
lim |
f (x) |
и справедливо утверждение |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→a ϕ(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
lim |
f (x) |
|
= lim |
f ′(x) |
. |
(1) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x→a |
ϕ(x) |
x→a ϕ′(′x) |
|
|
|
|
||||
|
Теорема 2. Если ББФ (при x → a ) f (x) и ϕ(x) определены и диффе- |
|||||||||||||
ренцируемы в окрестности т. a , ϕ(x) и ϕ′(x) ≠ 0 |
в этой окрестности и |
|
||||||||||||
lim |
f ′(x) |
, то |
lim |
f (x) |
, при этом |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→a ϕ′(x) |
x→a |
ϕ(x) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
lim |
f (x) |
|
= lim |
f ′(x) |
. |
(2) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x→a |
ϕ(x) |
x→a ϕ′(′x) |
|
|
|
|
Сформулированные теоремы называются правилом Лопиталя - Бернул-
0 ∞
ли раскрытия неопределенностей вида 0 , ∞ .
Раскрытие неопределенностей вида {0 ∞},{∞ − ∞},{1∞ }{, 00 } и т.д. алгебраическими преобразованиями и логарифмированием приводятся к
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
раскрытию двух основных типов: |
|
|
и |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ПРИМЕР 1. Найти lim(e x + x)1 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
= {1∞ |
}= lim e x ln (e |
|
+1) |
= u ϑ = eϑln u |
= |
||||||||||||||
|
|
lim(ex + x)x |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
u > 0 |
|
|||||
lim |
(ex +1) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= e x→0 |
x |
= e 2 = |
e |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(ex |
+1) |
|
0 |
|
|
|
[ln(ex +1)]′ |
|
|
|
ex |
|
|
1 |
|
|
|||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= lim |
x′ |
|
= lim |
|
|
|
= |
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
0 |
|
x→0 |
|
|
x→0 ex +1 |
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ПРИМЕР 2. Найти |
|
lim |
x x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
lim x x |
= {00 }= lim e x ln x |
|
lim x ln x |
= e0 |
= 1. |
|
|||||||||||||||||
Решение. |
|
|
= e x→0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56
lim x ln x = {0 ∞} = lim ln x |
|
x→0 |
x→0 1 |
x
=∞ =∞
lim |
(ln x)′ |
||
|
′ |
||
x→0 1 |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
= − lim |
x 2 |
= 0 . |
|
||
x→0 x |
|
Ответ: 1.
§6. Исследование функции и построение ее графика
1. Достаточное условие монотонности функции
Теорема 1. Если функция y = f (x) непрерывна на [a, b] ((a, b)) и диф-
ференцируема на (a, b) и f(x) сохраняет знак на (a, b), то f (x) строго моно-
тонна на [a, b] |
((a, b)): если f ′(x) > 0 (f ′(x) < 0), то f(x) строго возрастающая |
||||
(убывающая) |
функция. |
При этом, |
в частности, |
f (a) < f (x), x (a, b] |
|
(f (a) > f (x), x (a, b]). |
|
|
|
||
Следствие. |
Если y = f(x) непрерывна на (a, b) , где не исключаются |
||||
случаи a = −∞ и |
b = +∞ , и т. c (a, b) − единственная критическая точка |
||||
f(x) (f ′(c) = 0 либо не ) |
и на (a, c) |
и (c, b) f ′(x) |
сохраняет знаки и эти |
знаки противоположны, то локальный экстремум функции f(x) в т. c является
ееглобальным экстремумом на (a, b) , а именно:
1)f (c) − наибольшее значение f (x) на (a, b), если f (c) − локальный максимум (относительный максимум, максимум);
2)f(c) − наименьшее значение f (x) на (a, b) , если f (c) − локальный
|
|
минимум (относительный минимум, мини- |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
мум). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
ПРИМЕР 1. Найти наибольший объем конуса, |
|
|
|
|
||||||||||
образующая которого равна l. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Решение. I способ: |
r = OA − радиус основа- |
|
|
|
|
|||||||||
ния конуса; h = SO − высота конуса. |
|
|
|
|
||||||||||||
r 2 + h 2 = l2 ; ϑ = |
1 |
πr 2 h = |
1 |
π(l2 − h 2 )h ; |
|
• |
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
3 |
l |
B |
||||||||
0 < h < l. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
образом, требуется найти наи- |
|
|
|
|||||||
Таким |
A |
|
|
|
||||||||||||
большее |
значение |
функции ϑ , где аргумент |
|
|
|
|||||||||||
h (0, l) . ϑ′ |
= |
1 |
π(− 2h 2 |
+ l2 − h 2 )= |
Рис. 1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
h |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
π(l2 − 3h 2 )− квадратный двучлен относительно |
h . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57 |
|
|
|
|
h = |
l |
|
− стационарная точка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
l |
|
||||||
ϑ′h > 0 |
на 0, |
|
|
|
и ϑ′h |
< 0 |
на |
|
|
|
, l . Согласно следствию, h = |
|
|
|
− точка |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
глобального максимума.
|
l |
|
|
π |
|
|
l2 |
|
l |
|
l3 |
|||||
|
|
|
l2 |
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|||||
ϑ |
|
|
|
= |
|
− |
|
|
|
= |
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
9 3 |
|||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
Вычисляем |
− l • |
|
0 |
• |
|
. |
3 |
l |
3 |
Ответ: |
2l3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π(l2 − h 2 )h |
|
|
|
|
|
II способ. |
Рассмотрим |
|
|
функцию |
|
f (h) = |
1 |
на |
[0, l]. На |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
(0,l) f(h) = ϑ . |
|
Найдем |
наибольшее |
|
значение f(h) на |
[0, l]. Имеем |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
l |
|
|
1 |
|
2 |
|
l2 |
|
l |
|
|
l2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
, т.к. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
f (0) = f ( ) = 0, f |
|
|
= π |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
3 9 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
f ′(h) = π (l2 − 3h 2 )= 0 , |
h = |
l |
|
|
|
. Наибольшее значение равно |
2πl2 |
. Если те- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
3 |
|
перь учесть, что стационарная (критическая) точка - внутренняя точка [0,l] и
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
l |
|
|
||||
она единственная, то в этой точке f |
|
|
|
|
> f (x) x [0, l], x ≠ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||
|
l |
|
(x) |
x (0, l), x ≠ |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
f |
|
|
|
|
> f |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2πl3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
9 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ПРИМЕР 2. Исследовать функцию y = xx |
и построить ее график. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1. |
|
Область определения D(y): x > 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
т.к. функция показательно-степенная . Гра- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
фик функции находится по правую сторону |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
от оси 0Y . Рассмотрим поведение функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
в граничных точках D(y). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x |
{ |
0 } |
|
|
|
|
|
x ln x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
x |
= |
|
|
lim e |
= e |
= |
1. |
|
|
|
|
1 l |
|
|
x |
|||||||||||||||
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58
lim x ln x = {0 ∞} = |
lim |
x→0+0 |
x→0+0 |
(ln x)′
1 ′x
= − lim = 0; |
lim x x = +∞ . |
x→0+0 |
x→+∞ |
2. Области знакопостоянства функции. Точки пересечения с осями координат. x > 0 − график функции лежит над осью 0X .
3. Промежутки монотонности и экстремумы функции. Согласно (6) (§1; п.4)
y′ = x x ln x + x x x −1 = x x (ln x + 1); |
y′ = 0 ln x +1 = 0; |
x = |
1 |
. Таким |
|||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|||||
образом, D(y) разбивается т. |
|
на два промежутка: 0, |
|
|
и |
|
,+∞ ; |
||||
|
|
|
|||||||||
|
l |
|
l |
l |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
0, |
|
; y′ |
|
|
< 0 . |
Следовательно, на 0, |
|
функция строго убывающая. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
l2 |
|
|
l |
l2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|||||
l2 |
1 |
,+∞ , y′(l2 ) > 0 . |
На |
1 |
,+∞ функция строго возрастающая. Отсюда |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
сразу следует, |
что |
|
|
|
определяет относительный минимум и наименьшее |
||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
значение функции на D(y). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
4. Области вогнутости, выпуклости, точки перегиба. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
y ′′= (x x )′(ln x +1) + x x −1 = x x (ln x +1)2 + x x−1 = x x (ln x +1)2 |
+ |
1 |
> 0 |
для |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x > 0. Значит, график исследуемой функции всюду вогнут.
5. Асимптоты функции. Вертикальных асимптот нет, т.к. нет точек бесконечного разрыва функции. Переходим к отысканию наклонных асимптот.
|
x x |
|
∞ |
= lim x x −1 |
|
Имеем lim |
|
= |
|
= +∞ . Таким образом, нет и наклонных |
|
|
|||||
x→+∞ x |
|
∞ |
x→+∞ |
|
асимптот. График исследуемой функции начерчен на рис. 1.
Глава VI. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Учебники: Пискунов Н.С., гл. VIII;
Бугров Я.С., Никольский С.М., гл. 8.
§1. Области определения функций и их изображения
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. δ − окрестностью т. M на плоскости (в пространстве) называется открытый круг (открытый шар) с центром в т. M и радиуса δ .