Методичка для тех.спец. математика

29

N{A, B, C}− нормальный вектор плоскости, т.е.

N{A, B, C}

направляющий вектор прямой, которая перпенди-

кулярна плоскости (см. рис. 1).

D = 0 когда плоскость проходит через нача-

ло координат;

D ≠ 0 когда плоскость не проходит через на-

T

чало координат.

2)

α : A(x − x 0 )+ B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 −

урав-

Рис. 1

нение

плоскости,

проходящей

через

3) α :

x

+

y

+

z

= 1 −

уравнение

плоскости

в отрезках; P(a,0,0),

a b

c

Q(0, b,0), R(0,0, c) −

точки

пересечения

плоскости

с координатными осями

*

*

+ Cz

*

p(M* , α)=

Ax

+ By

r

+ D

,

(1)

N

z

M* (x* , y* , z* )

R

M 0

0

y

P

Q

x

α

Рис. 2

Рис. 3

3. Взаимное расположение 2-х плоскостей.

α1 : A1 x + B1y + C1 z + D1 = 0; α2 : A 2 x + B 2 y + C2 z + D2 = 0 .

(2)

31

cos ϕ =

N1N

2

.

(9)

r

r

N1

N 2

1)

x − x 0

=

y − y 0

=

z − z 0

−

канониче-

a

a

•

m

n

p

ские уравнения прямой (см. рис.1);

M

0

M(x, y, z)

•

M 0 (x0 , y0 , z0 ) − начальная

(фиксирован-

ная, данная) точка прямой;

Рис. 1

r

a{m, n, p} − направляющий

вектор

пря-

мой;

M(x, y, z) − текущая (произвольная) точка прямой.

2) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

M1 (x1 , y1 , z1 ), M 2 (x 2 , y2 , z2 ):

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

.

x 2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

3) Общие уравнения прямой (см. §2, п.3 формула (3)):

A1 x

+ B1 y + C1 z

+ D1

= 0

(1)

+ B 2 y + C2 z

+ D2

,

A 2 x

= 0

x = x 0 + mt,

+ nt, t R, t − пара-

4) Параметрические уравнения прямой: y = y0

+ pt,

z = z0

32

2. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Прямые a1 и a 2 заданы каноническими уравнениями:

a1 : x − x1 = y − y1 = z − z1 ; a2

: x − x2 = y − y2 = z − z2 .

m1

n1

p

m2

n2

p

Теорема.

a1

и a 2

принадлежат одной плоскости когда

r r

x 2 − x1 , y

2 − y1 , z 2 − z1

M

1M

=

m1

n1

p1

= 0 ,

2a1a 2

(2)

m 2

n 2

p 2

т.е. когда три вектора M1M 2 {x 2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1},

a1{m1 , n1 , p1}, a 2 {m2 , n 2 , p2 }компланарны

(см. рис.2).

a1

Следствие.

Прямые a1 и a 2

не лежат в од-

M1

ной плоскости (скрещивающиеся прямые)

когда

M 2

условие

(2)

нарушается,

то

есть

векторы

M1 M

r

r

2 , a1

, a 2

не компланарны:

a 2

Рис. 2

r

r

x 2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1

=

m1

n1

p1

≠ 0.

M1M 2a1a 2

(3)

m 2

n 2

p 2

a1 ||a 2

(см. рис. 3)

r

r

a1

a

2

= λa

1

r

(4)

a1

M1M 2 ≠ µa1

M1

M 2

m

n

p

2

=

2

=

2

(5)

a 2

m1

n1

p1

r

M1M 2

≠ µa1

Рис. 3

r

r

a1 ≡ a 2

a

2

= λa

1r

M1M 2

= µa1

m

2

=

n

2

=

p

2

m1

n1

p1

.

(6)

x2 − x1

= y 2 − y1 = z 2 − z1

m1

n1

p1

33

3. Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми. Напом-

ним, что упомянутое расстояние равно

C′

длине общего

перпендикуляра этих пря-

D′

мых. Для определенности прямые a1 и a 2

1

B′

a′

зададим каноническими уравнениями (см.

M

|| a

п.2), тогда искомое расстояние (см. рис. 4)

2

1

1

r

r

a 2

h =

M1M 2 a1a2

(7)

r

r

,

[a1a2 ]

D

C

где M1 (M 2 ) −

начальная

точка прямой

M1

a1

a1 (a 2 ), a1 (a 2 ) − направляющий век

a1

тор прямой

a1 (a 2 ).

a′

|| a

B

2

2

Рис. 4

4. Угол между двумя прямыми в про-

странстве.

Пусть две прямые a 1

и a 2 заданы своими каноническими уравнениями

(см. п.2). Зафиксируем некоторую точку S , и через нее проведем прямые

M

a

a

a′

|| a

1

ϕ

2

1

1

a

M 3

M1

S•

a 2

a1

M1

M 2

a

2

π − ϕ

a′2 || a 2

T

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

a′

|| a

1

и a′

|| a

2

(см. рис. 7). За угол между прямыми a

1

и a

2

принимается

1

2

1′

′2

ϕ =

=

′

^ a′ .

угол между a

и a

:

a

1

^ a

2

a

И дело, таким образом,

сводится к

1

2

плоскому случаю. В силу этого согласно (6)

§1 (гл. III)

r

r

cos ϕ =

a1a2

(8)

r

r .

a1

a2

Последнее

позволяет определить острый угол

0 ≤ ϕ ≤ π

между двумя

2

пространственными прямыми.

(8)

a1 a2

v

= 0 .

(9)

a1a2

34

r

M 2 M1M3 , M1M3 = a

1

[M1M 2

r

SM M M

=

r

h a

, a] =

.

2

1

3

2

2

r

h =

[M1M 2 , a]

(10)

r

.

a

II) Способ. Через т. M 2 проводим плоскость α прямой a . Находим ко-

ординаты т. T = α I a . Длина отрезка M 2 T дает искомое расстояние.

§4. Плоскость и прямая в пространстве

1. α : Ax + By + Cz + D = 0

(1)

x

= x0 + mt,

= y 0 + nt,

(2)

a : y

= z 0 + pt.

z

Ax + By + Cz + D = 0

= x 0 + mt

x

a I α когда совместна система:

= y0 + nt

y

= z 0 + pt

z

A(x0 + mt ) + B(y 0 + nt) + C(z 0 + pt) + D =

= (Am + Bn + Cp) + Ax0 + By 0 + Cz 0 + D = 0

(3)

x = x0 + mt, y = y 0 + nt, z = z 0 + pt

Теперь положим (см. рис. 1)

r

(4)

Am + Bn + Cp = N a

и тогда вместо первого уравнения (3) имеем

a

r

M

0

(Na)t = −(Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D).

(5)

•

N

r

= 0 N

r

α)Na

a.

α

Ax0 + By 0 + Cz 0 + D ≠ 0 M 0 α.

(6)

a I α = прямая и плоскость параллельны

Рис. 1

(α || a), т.е. (6) - условие параллельности прямой и

плоскости

r

r

Ax0 + By0 + Cz0

+ D = 0 M0 α ,

β) Na

= 0 N a,

система (3)

удовлетворяется при t: a α , т.е. прямая принадлежит плоскости .

r

≠ 0 N не a a не параллельна α и не α . Из (5) неизвест-

γ) Na

ный параметр t = t 0

находится однозначно, прямая и плоскость пересекаются.

Вставляя t 0

в (2), получим координаты точки пересечения.

35

2. Угол между прямой и плоскостью.

l′ − ортогональная (перпендикулярная)

l

N

проекция l на α : l′ = прα l . Тогда по опреде-

θ

ϕ

лению угол l^ α есть угол l^ l′.

r

l′

sin ϕ = ± cos θ = ±

a N

r

r

.

(7)

a

a

N

α

r

Отсюда l || α a N

T

r

(8)

aN = 0 .

Рис. 2

r

l α [a, N]= 0

r

(9)

N = λa .

Задача. Даны две плоскости:

3x + y − z +1 = 0

и 5x + 3y + z + 2 = 0 .

r

r

3

1

Решение.

I-й способ. N1

{3,1,−1}, N 2

{5,3,1};

≠

≠ −1

5

5

N2 ≠ λN1. плоскости пересекаются. Согласно п.1 (§3)

r

r r

i

j

k

r

1

−1

r

3 −1

r

3 1

−1

=

a =

[N1 , N 2 ]=

3 1

= i

3

1

− j

5

1

+ k

5

3

5

3

1

= 4i −

r

r

r

− направляющий вектор прямой.

8 j + 4k a1

{1,−2,1}↑↑ a,

a

Положим z =

3x + y = −1

=

3

1

= 4 ;

0 , тогда

+ 3y = −2,

5x

5

3

x

=

−1 1

= −1;

y =

3 −1

= −1; x = −

1

; y = −

1

.

− 2

3

5 − 2

4

4

1

1

M0

−

;−

;0

− начальная точка линии пересечения рассматриваемых плос-

4

4

костей. Согласно п.1 (§3) канонические уравнения имеют вид:

x +

1

y +

1

z

4

=

4

=

.

1