Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка для тех.спец. математика

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

2.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 162 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

→324

→000

7	1		1		23						− 3(1)						+ (2)
7	1		1		23
4	2		1
4	2		1		16			→		− 2 (1)							+ (3)				→
								→		− 2 (1)							+ (3)				→
1	3		5		10					− 2 (3) + (4)
- 3	4		6		1


									23
7			1			1			23
- 17		- 1			- 2				−								− (3) + (2)
- 17		- 1			- 2				−	53			→				− (3) + (2)						→
- 13			1			3			−	36			→				− (4) + (3)						→
- 13			1			3			−	36							− (4) + (3)
- 5		- 2			- 4				−	19
- 5		- 2			- 4				−	19
7	1			1				23
7	1			1				23

- 4	- 2				- 5	− 17						→		−			1	(2)		→
- 4	- 2				- 5	− 17											1
- 8	3			7		− 17
																	4
																	4
- 5	- 2			- 4		− 19
- 5	- 2			- 4		− 19

7	1			1					23
7	1			1					23
1	1 2			5 4			17 4									8(2) + (3)
1	1 2			5 4			17 4									8(2) + (3)
- 8	3			7				− 17				→				5(2) +					(4)	→
- 8	3			7				− 17								5(2) +					(4)
- 5	- 2			- 4				− 19
- 5	- 2			- 4				− 19
7	1			1				23
7	1			1				23
1	1 2		5 4											(3) ↔ (4)
1	1 2		5 4			17 4						→		(3) ↔ (4)								→
0	7		17			17						→					2 (3)					→
0	7		17			17											2 (3)
0	1 2		9 4			9 4
0	1 2		9 4			9 4

7	1			1				23
7	1			1				23

1	1 2		5 4			17 4						→			− 7(3) + (4) →
0	1		9 2			9 2						→			− 7(3) + (4) →
0	1		9 2			9 2
0	7		17			17
0	7		17			17
																		1
7	1			1							23							1			7 1
1	1 2 5 4
1	1 2 5 4								17 4									0 1 1 2
0	1			9 2					9 2								→		0 0 1
0	1			9 2					9 2										0 0 1
0																			0 0 0
0	0 - 29 2								− 29 2										0 0 0
	0 - 29 2								− 29 2

723

54 174

92 92 →

1 1

	−		9	(4) + (3)		1		7	1	0	22
			9

			2													1
			2
→	−		5	(4) + (2)	→	0		1	1 2	0	3		→		−		(3) + (2)			→


																2
			4				0	0	1	0	0					2
			4				0	0	1	0	0				− 1(3) + (1)
		− (4) + (1)					0	0	0	1	1
		− (4) + (1)


	1 7 0 0				22								1			0	0	0	1
	1 7 0 0				22								1			0	0	0	1

	0			1 0 0	3			− 7(2)					0			1	0	0	3
→		0 0 1 0			0		→	− 7(2)		+ (1)		→		0		0	1	0	0
		0 0 1 0			0									0		0	1	0	0
		0 0 0 1			1									0		0	0	1	1
		0 0 0 1			1									0		0	0	1	1

Отсюда следует, что преобразованная система уравнений имеет следую-

щий вид:

=1;

=3;

, что сразу дает решение исследуемой системы.

= 0; = 1,

Ответ: {1,3,0,1}.

Проверку предлагаем сделать читателю.

			1		- 2	3		- 4		4
			1		- 2	3		- 4		4
										−
ПРИМЕР 3.			0		1	-1			1		3	→		− 1(1) + (3)	→
			0		1	-1			1		3
				1	3	0		- 3		1
				1	3	0		- 3		1
				0	- 7	3			1	−	3
				0	- 7	3			1	−	3
1		- 2		3	- 4		4							− 5(2) + (3)



0		1	- 1		1		− 3	→					7(2) + (4)				→
→	0	5	- 3		1		− 3	→					7(2) + (4)				→
	0	5	- 3		1		− 3			При этом меняются только
										При этом меняются только
	0	- 7		3	1		− 3
	0	- 7		3	1		− 3			элементы строк (3) и (4), а строка (2)
										элементы строк (3) и (4), а строка (2)
										остается без изменения
1 - 2 3					- 4		4			1		− 2 3 − 4			4
1 - 2 3					- 4		4			1		− 2 3 − 4			4
												1 − 1 1
0 1 - 1					1		− 3			0		1 − 1 1			− 3	→
→	0 0			2	- 4		12		→		0	0		1 − 2	6	→
	0 0			2	- 4		12				0	0		1 − 2	6
	0 0 - 4				8		− 24				0	0		1 − 2	6
	0 0 - 4				8		− 24				0	0		1 − 2	6

									11
1		− 2	3	− 4			4				(3) + (2)
1		− 2	3	− 4			4
			− 1 1					→						→
→ 0 1			− 1 1				− 3	→			− 3(3) + (1)			→
	0	0	1	− 2			6				− 3(3) + (1)
	0	0	1	− 2			6
1 − 2			0	2	− 14									1 0 0	0	− 8
1 − 2			0	2	− 14									1 0 0	0	− 8
				− 1				→		2(2) +					− 1
→ 0		1	0	− 1		3		→		2(2) +		(1)	→ 0 1 0		− 1	3
	0 0		1	− 2	6										− 2
	0 0		1	− 2	6									0 0 1	− 2	6

Отсюда следует, что преобразованная система, равносильная исходной,

имеет следующий вид: x 2x 3

= −8,	x	1	= −8,
			− x 4 = 3,
− x 4 = 3, x		2
− 2x 4 = 6,			= 2x 4 + 6,
	x 3

где x 4 можно придавать произвольное значение. В силу этого система допускает бесконечное множество решений.

Ответ: {− 8, x 4 + 3; 2x 4 + 6; x 4 }, x 4 R .

Проверка. Напомним, что исходная система имеет вид

1 − 2x 2 + 3x 3 − 4x 4 = 4,

− x 3 + x 4 = −3,

+ 3x 2 − 3x 4 = 1,

− 7x 2 + 3x 3 + x 4 = −3.

− 8 − 2x 4 − 6 + 6x 4 + 18 − 4x 4 = 4,

4 + 3

− 2x 4 − 6 + x 4 = −3,

Имеем

− 8 + 3x 4 + 9 − 3x 4 = 1,

− 21 + 6x 4 + 18 + x 4 = −3.

− 7x 4

Таким образом, получаем четыре верных равенства. В чем и следовало

убедиться.

ПРИМЕР 4.

1 − 5x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 2

7x1 − 4x 2 + x 3 + 3x 4 = 5

+ 7x

− 4x

− 6x

= 5

− 5

− 4

− 2(1) + (2)

→

5 →

− 4

− 6

(2) ↔ (1)

									12
1		6	− 3	− 5	1
1		6	− 3	− 5	1
		− 5	2	4	2			→	− 3(1) + 2		→
→ 3		− 5	2	4	2			→	− 3(1) + 2		→
	5	7	− 4	− 6	3				− 5(1) + 3
	5	7	− 4	− 6	3
1		6	− 3 − 5			1						1		6	− 3 − 5		1
1		6	− 3 − 5			1						1		6	− 3 − 5		1
		− 23							→	− 1(2) + (3)				− 23
→ 0		− 23	11	19			− 1		→	− 1(2) + (3)		→ 0		− 23	11	19	− 1
	0 − 23		11 19			− 2							0	0	0	0	− 1

Последняя строка полученной матрицы указывает на несовместность исходной линейной системы, так как 0 x1 + 0 x 2 + 0 x 3 + +0 x 4 = 0, 0 ¹ -1.

Глава II. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Учебники: Ефимов Н.В., гл. 7 - 10. Беклемишев Д.В., гл. I, §§ 1-3. Ильин В.А., Позняк Э.Г., гл. 2.

§1. Действия над векторами

1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Отрезок AB называется направленным, если его концы занумерованы, т.е. известно, который из концов 1-й (начало) и кото-

рый 2-й (конец). Направленный отрезок называется вектором.

→

Запись AB означает: т. A − начало направленного отрезка (1-й), а т. B − конец направленного отрезка (2-й). (Рис. 1).

→

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.

Два вектора

и b

→

называются равными:

a = b если они сона-

→

и их длины равны (

правленны a −− b

(Рис. 1).

Замечание.

Напомним,

что

запись

Рис. 1

p −− q (p −↓ q) означает сонаправленность

(про-

тивоположную направленность) векторов p и q .

→

Напомним,

что сумма a + b двух векторов определяется по правилу па-

раллелограмма (треугольника), при этом операция “+”

удовлетворяет условиям:

→

10 . a

+ b

= b

+ a − коммутативность суммы.

20 . (a + b) + c = a + (b + c) − ассоциативность суммы.

→

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Произведением вектора a на число λ, λ R , на-

→

зывается вектор, обозначаемый одним из символов λ a ,

a λ и определяющий-

ся по следующему правилу:

−

чтобы получить

длину вектора

λa , надо умножить

λa

длину

вектора a на модуль скалярного множителя.

→

20 . λ a

−− a

когда l > 0; l a -¯ a Û когда λ < 0.

Операция произведения вектора на число удовлетворяет условиям:

		→		→	→
30 . 1× a			= a , " a .
4	0		→		→		− ассоциативность произведения.
4		. λ μ a =			(λμ)a		− ассоциативность произведения.

				→	→		→
50 . (λ + μ)a					= λ a	+ μ a− распределительное свойство по отношению к
числовому множителю.
6	0	→		→	→		→
6		. λ a		+ b	= λ a + λ b − распределительное свойство по отношению к

векторному множителю.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Если концы направленного отрезка (вектора) совпадают, то такой вектор называется нулевым.

				→	→
		Итак,		AA	= 0 − нулевой вектор, где A − произвольная точка.
			→	→	→
		70 . a		+ 0	= a .
					→	→	→	→
		2. Напомним, что разность a				− b двух векторов a		и b определяется как
								→	→
вектор,			который в сумме с вычитаемым				вектором	b дает вектор	a :
→		→	→	→
b	+ a − b			= a . (Рис. 2).

→
Вектор x	называется		противопо-
	→	→	→	→
ложным вектору	a , если x+ a			= 0 . Этот
вектор обозначается		единым		символом
→			→	→
− a . Можно показать,		что − a		= (−1)a .
		λ = 0
		λ = 0
Отметим, что λ x = 0 r			.
		x =	0

→ →

a − b

→

O b

Рис. 2

§ 2. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов

1. Рассмотрим систему векторов (направленных отрезков)

	{a1	,a2 ,a3 ,K,ak }.					(1)
	Вектор
	a = λ1a1	+ λ 2a 2 + K + λ k ak ,					(2)
	λ i R, i =			,
где	λ i R, i =		1, k	,	называется линейной комбинацией векторов системы
(1)	(с постоянными коэффициентами λ1 ,λ 2 ,K,λ k ).
	Нас интересует случай, когда линейная комбинация
	r				r	r
	l1a1 + l2a 2					+ K + lk ak = 0	(3)
при условии, что система векторов (1) задана, а λ1 , λ 2 ,K, λ k							− неизвестные

числа. Согласно (§1, п.2), если λ1 = 0, λ 2 = 0,K, λ k = 0, то (3) всегда имеет место. В этом случае будем говорить о тривиальной комбинации векторов сис-

темы (1). Если же (3) имеет место, но хотя бы одно из чисел λi	отлично от ну-
ля, то комбинация (3) называется нетривиальной линейной комбинацией.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Система векторов (1) называется линейно-
независимой, если из условия (3) следует
λ1 = 0, λ2 = 0, K, λk = 0 ,	(4)

то есть (3) возможно только при тривиальной комбинации. В противном случае, т.е. когда (3) имеет место при нетривиальной линейной комбинации, система векторов (1) называется линейно-зависимой, другими словами из (3) не следует (4): среди чисел λ1 ,λ 2 ,K,λ k есть хотя бы одно, отличное от нуля:

l21 + l22 + K + l2k ¹ 0 .

(5)

Теорема 1. Система (1) линейнозависима когда некоторый вектор системы есть линейная комбинация остальных векторов этой системы.

Следствие. Система (1) линейно - независима когда ни один вектор этой системы не есть линейная комбинация остальных векторов этой системы.

Теорема 2. Если некоторая подсистема векторов из (1) линейнозависима, то и система (1) - линейнозависима.

Следствие. Если (1) содержит нулевой вектор, то она есть линейноза- висимая система векторов.

Теорема 3. Если система векторов линейнонезависима, то и ее подсистема линейнонезависима.

§3. Векторный базис. Координаты вектора

→→

1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Два вектора a и b называются коллинеарными,

если после приведения их к общему началу они лежат на одной прямой (рис. 1).

→→

Впротивном случае a и b называются неколлинеарными, то есть после

приведения к общему началу они не лежат на одной прямой (рис. 2).

∙

Рис. 1

Рис. 2

Ортом называется вектор единичной длины. Ортом a 0 вектора a назы-

=1}. При этом

вается орт, сонаправленный с вектором a : {a 0

−− a,

a 0

1 r

a0 =

(1)

→

Последнее

равенство

проверяется

непосредственно: a 0

−− a , так как

> 0, а

→

=1. В чем и следовало убедиться.

a 0

2. Теорема 1.

Два направленных отрезка a и b коллинеарны когда

(2)

b = λa ,

то есть, когда один из векторов получается из другого умножением на число.

В силу этого, согласно теореме 1 (§ 2), имеем: система {r } из двух на-

правленных отрезков линейнозависима когда a и b коллинеарны. В этом состоит геометрический смысл линейной зависимости системы из двух направ-

ленных отрезков a и b .

Система из двух направленных отрезков линейнонезависима когда

a и b не коллинеарны. Последнее выражает геометрический смысл линейной независимости системы из двух направленных отрезков.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Векторным бази-

сом на плоскости называется упорядоченная

r	r	независи-	x
система {e1	, e2 }из двух линейно-	независи-	x	l2
мых векторов. (Рис. 3).				l2
мых векторов. (Рис. 3).
Теорема 2. Произвольный вектор x на				l1
плоскости есть линейная комбинация базис-				l1
плоскости есть линейная комбинация базис-
ных векторов:				Рис. 3
				Рис. 3
r
r
x = x1e1 + x2e2 .				(3)

		r	r
Координатами вектора x в базисе {e1			, e2 }называются коэффициенты
x1 , x 2 в разложении (3) вектора x		по базисным векторам e1 и e2 . При вы-
r	r
бранном базисе {e1	, e2 } координаты вектора определяются однозначно.
Множество векторов на плоскости называется двумерным векторным
пространством и обозначается B2		(по числу базисных векторов в векторном
базисе).

3. Три вектора в пространстве называются некомпланарными (компла- нарными), если после приведения их к общему началу они не лежат (лежат) в

одной плоскости.			r	r
Теорема 3.
	Система {a, b, c} из трех векторов компланарна когда
она линейнозависима.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.		Векторным базисом в пространстве называется
	r	r	r	} из трех линейнонезависимых векторов.
упорядоченная система {e1		, e	2 , e3
Теорема 4.	Произвольный вектор x в пространстве есть линейная ком-
бинация базисных векторов:
x = x1e1 + x 2 e2 + x 3 e3 .					r	(4)
Координатами вектора x				r		r
				в базисе, {e1	, e2	, e3 } называются коэффици-

енты x1 , x2 , x3 в разложении (4) вектора x по базисным векторам e1 , e2 , e3 .

		r	r	r	} координаты вектора определяются одно-
При выбранном базисе		{e1	, e2	, e3	} координаты вектора определяются одно-
значно.	Чтобы получить координаты вектора λx ,
Теорема 5.	Чтобы получить координаты вектора λx ,					надо каждую ко-
ординату x умножить на число λ.					r
					r	λ R, то
Например,	если	выбран			базис, x{x1 , x2 , x3 } и	λ R, то

λx{λx1 , λx 2 , λx 3 }.

Теорема 6. Координаты алгебраической суммы двух векторов равны ал-

гебраической сумме соответствующих координат слагаемых векторов.

, y2 , y3

}, то

Например, если x{x1 , x2 , x3 }, y{y1

r r

± y1 , x 2 ± y 2 , x 3

± y 3 }.

(x ± y){x1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.

Ортонормирован-

ным базисом в B3

(множество векторов в про-

странстве)

называется

векторный

базис

e = {e1 , e2

, e3 }, для которого выполнены усло-

вия

α)

= 1, то есть ес-

ли все три базисных вектора являются ортами

(векторами единичной длины);

Рис. 4

β)

e1 e2 , e3 ; e2 , e3 , то есть базисные

				17
векторы попарно ортогональны (перпендикулярны). Ортонормированный базис
имеет стандартное обозначение {i , j, k}						r	r	r
имеет стандартное обозначение {i , j, k}					, где i = e1		, j = e2	, k = e3	. (см. рис.
4).
§4. Прямоугольная декартова система координат (ПДСК).
Деление направленного отрезка в заданном отношении
1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.					z
Координатами	т.	M	в		z
Координатами	т.	M	в			A
ПДСК называются координаты						A
ПДСК называются координаты						∙	C
	→			M ∙		∙
	→
ее радиусавектора OM отно-							∙	B
ее радиусавектора OM отно-							∙
сительно ортонормированного
сительно ортонормированного						k		∙	С1
базиса {i , j, k}(см. рис. 1), т.е.						k			С1
базиса {i , j, k}(см. рис. 1), т.е.									∙
M(x, y, z)					i 0	j			y
					x		Рис. 1
							Рис. 1
→		r	r	r
OM{x, y, z}{ri ,rj,kr } = xi			+ yj + zk .						(1)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.			Говорят, что		C Î (AB)		(A ¹ B) делит направлен-
→
ный отрезок AB в отношении λ, если
→	→
AC = λCB .							→		(2)
							→
При этом, если l > 0 (l < 0), то точка C делит AB внутренним (внеш-
ним) образом, т.е. т. C − внутренняя (внешняя) точка отрезка AB (см. рис.1).
Если A(a1 , a 2 , a 3 ), B(b1 , b2 , b3 ) и C(c1 , c2 , c3 ), то координаты деля-
щей точки C связаны с координатами точек A и B так:
c1 = a1 + λb1 ; c			2 = a2 + λb 2		; c3 = a3 + λb 3 .				(3)
	1 + λ			1 + λ		1 + λ
Тем самым решаются две основные задачи:

I)по заданному отношению λ и координатам точек A и B определяются координаты делящей точки C.

II) по координатам точек A , B и C, лежащих на одной прямой, опреде-

ляется отношение λ, в котором точка C делит направленный отрезок

→

AB .

Заметим, что середина отрезка AB соответствует λ = 1. В силу этого (3)

						18
		c1	= a1 + b1 ; c		2 = a2 + b 2 ; c		3 = a3 + b3 .		(4)
				2	2			2
	ПРИМЕР 1. Найти координаты центра тяжести треугольника с вершина-
ми A(2;3;4), B(3;10;2), C(4;−1;3).
	Решение.			Точка O пересечения медиан тре-					С
угольника ABC (см. рис. 2) - центр тяжести								ABC .	С
угольника ABC (см. рис. 2) - центр тяжести								ABC .
→	→								0
AO	= 2 OD, λ = 2. D(7 2;0;5 2) согласно (4). В силу								∙
				2 +	2 × 7			A	D
				2 +	2 × 7	y0 = 3 = 1;			O
формул (3) имеем x 0 =					2 = 3;	y0 = 3 = 1;			B
		4 + 2 × 5			3		3		Рис. 2
									Рис. 2

	z0 =		3	2 = 3 .
	Ответ: O(3;1;3).
	§ 5. Проекция вектора (направленного отрезка) на ось
	ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.				Направляющим вектором
прямой l называется вектор l , который лежит на па-									l
раллельной прямой либо на ней самой. (см. рис.1), то									l
есть, если отложить этот вектор от точки прямой l, то
l будет лежать на l.									Рис. 1
	ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.				Прямая l называется осью,				Рис. 1
	ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.				Прямая l называется осью,
если на ней задано положительное направление.
	Обычно направление на оси задается ортом l0 направляющего вектора
этой прямой. Так, например, движение снизу вверх на l определяет положи-
тельное направление (см. рис. 1). Направление, противоположное положитель-
ному, называется отрицательным.
	Пусть A1 (B1 ) - ортогональ-
ная (перпендикулярная) проекция								A
т. A (т. B) на ось l (см. рис. 2), т.е.
A1 (B1 ) −		основание перпендику-							B
ляра, опущенного из A(B) на l.									B
ляра, опущенного из A(B) на l.
Тем	самым		получается		вектор	l	l0
→				называется век-				A1	B1
A1B1 , который				называется век-				Рис. 2
торной		проекцией			вектора			Рис. 2
торной		проекцией			вектора
r	→
a =	AB на ось l и это записывается так:

<<< < Предыдущая 12 / 162 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.12.2018573.95 Кб58Методичка ГРЭС.doc
#
17.03.2015438.27 Кб41методичка для ГЛ, ГФ.doc
#
26.08.2019463.87 Кб12методичка для дипломников по экономике.doc
#
04.12.2018238.59 Кб8Методичка для заочников (У.Г.Г.).doc
#
17.03.2015696.83 Кб45методичка для ЗО по английскому.doc
#
17.03.20152.25 Mб8Методичка для тех.спец. математика.PDF
#
17.03.2015386.56 Кб130Методичка для ФТТ(ТЭ).doc
#
09.11.2019555.01 Кб3методичка для ФТТ.doc
#
17.03.20151.23 Mб187Методичка ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОДЕЗИЯ.doc
#
20.11.20185.4 Mб12методичка интернет-тестирование.doc
#
11.11.2018379.39 Кб5Методичка к курсовой по ТОЭ1.doc