3Дифференциальные уравнения и передаточные функции систем радиоавтоматики
3.1 Общие дифференциальные уравнения систем радиоавтоматики
Процессы, происходящие в системах РА, описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, которые могут быть решены лишь в отдельных случаях. Однако уравнения большого числа систем могут быть линеаризованы. При этом процессы в системах РА описываются линейными дифференциальными уравнениями вида
.
(3.0)
В стационарных системах РА коэффициенты дифференциального уравнения (3.1) являются постоянными величинами, в нестационарных – переменными. Методы анализа линейных систем РА основываются на принципе суперпозиции, который заключается в следующем.
Если на систему поступает управляющее воздействие, которое можно представить в виде суммы простых воздействий вида
,
(3.0)
то выходной сигнал определяется как сумма реакций на каждое слагаемое (3.2).
Решение дифференциального уравнения (3.1) связано с вычислительными трудностями, а во многих случаях, например, в следящих системах, не может быть осуществлено, так как неизвестно управляющее воздействие. По этим причинам исследование систем РА ведется косвенными методами, базирующимися на операционном методе Лапласа и преобразования Фурье.
Для этой цели в теории систем РА используются следующие основные характеристики: передаточная функция, переходная и импульсная переходная функции, комплексный коэффициент передачи или частотная характеристика.
3.2 Передаточная функция систем радиоавтоматики
Применив к дифференциальному уравнению (3.1) преобразование Лапласа, получим
,
(3.0)
где
;
;
Y(p) – преобразование Лапласа для выходного сигнала;
X(p) – преобразование Лапласа для входного сигнала системы;
Mн – многочлен, отображающий начальные условия.
Введя следующие обозначения, получим:
; 
.
(3.0)
Тогда выражение (3.3) примет вид
.
(3.0)
Это уравнение связывает изображение выходного сигнала системы. Функция W(p) характеризует динамические свойства системы РА, она не зависит от управляющего воздействия и полностью определяется параметрами системы ai и bi. Эту функцию называют передаточной, а Wн(p) – передаточной функцией относительно начального состояния системы РА.
При нулевых начальных условиях передаточная функция системы РА равна отношению изображения по Лапласу выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала. Передаточная функция является дробно рациональной функцией относительно оператора преобразования Лапласа
.
(3.0)
Степень полинома знаменателя передаточной функции определяет порядок системы РА. В реальных системах степень полинома числителя передаточной функции не превышает степени полинома знаменателя. Это условие называется физической реализуемостью системы РА; оно означает, что нельзя создать систему РА, передаточная функция которой не удовлетворяла бы этому условию.
Корни полинома числителя передаточной функции i называются нулями, а корни знаменателя i – полюсами системы РА. Так как коэффициенты передаточной функции – действительные числа, то невещественные нули и полюсы могут быть только комплексно-сопряженными величинами. При анализе систем РА нули и полюсы (особенности передаточной функции) удобно изображать точками на плоскости комплексного переменного p (рис. 3.1).
Рис. 3.1 Расположение нулей и полюсов передаточной функции
на плоскости комплексного переменного
Если передаточная функция системы не содержит особенностей в правой части плоскости p, то систему называют минимально-фазовой, в противном случае ее считают неминимально-фазовой.