- •8 Вопрос
- •9 Вопрос Координаты вектора
- •Свойства
- •Модуль вектора
- •10 Вопрос Скалярное произведение векторов
- •11 Вопрос Формула для вычисления скалярного произведения векторов через их координаты.
- •Формула для вычисления угла между векторами.
- •12 Вопрос
- •13 Вопрос
- •14 Вопрос
- •15 Вопрос
- •16 Вопрос
- •17 Вопрос Расстояние от точки до прямой
- •Теорема доказана.
- •18 Вопрос
- •Окружность
- •19 Вопрос Гипербола
- •20 Вопрос Парабола
- •21 Вопрос числовые последовательности VI
- •§ 129. Ограниченные и неограниченные числовые последовательности
- •22 Вопрос Бесконечно малая величина
- •23 Вопрос Определение
- •Обозначения
- •Свойства
- •Свойства Арифметические свойства
- •Свойства сохранения порядка
- •Другие свойства
- •24 Вопрос
- •Промежутки монотонности
- •26 Вопрос Непосредственное вычисление пределов, таблица пределов функций.
- •27 Вопрос Предел функции
- •Свойства пределов функции
- •28 Вопрос
- •1. Непрерывность функции в точке.
- •29 Вопрос Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •30 Вопрос
- •Определение производной функции через предел
Ответы по высшей математике на вопросы
7 вопрос
Ме́тод Га́усса[1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные[2].
Описание метода
Пусть исходная система выглядит следующим образом
Матрица называется основной матрицей системы, — столбцом свободных членов.
Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):
При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных [3].
Тогда переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.
Если хотя бы одно число , где , то рассматриваемая система несовместна.
Пусть для любых .
Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом ( , где — номер строки):
, где
Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.
|
Следствия: 1: Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой. 2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной. |
|
Условие совместности
Упомянутое выше условие для всех может быть сформулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности:
Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны).
|
Теорема Кронекера-Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. Следствия:
|
|
Алгоритм
Описание
Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.
На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.
На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.
Метод Гаусса требует порядка действий.
Этот метод опирается на:
|
Теорема (о приведении матриц к ступенчатому виду). Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к ступенчатому виду. |
|
Простейший случай
В простейшем случае алгоритм выглядит так:
Прямой ход:
Обратный ход. Из последнего ненулевого уравнения выражаем базисную переменную через небазисные и подставляем в предыдущие уравнения. Повторяя эту процедуру для всех базисных переменных, получаем фундаментальное решение.
Пример
Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:
Обнулим коэффициенты при во второй и третьей строчках. Для этого вычтем из них первую строчку, умноженную на и , соответственно:
Теперь обнулим коэффициент при в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на :
В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.
На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:
из третьего;
из второго, подставив полученное
из первого, подставив полученные и .
8 Вопрос
Под вектором в элементарной математике понимают направленный отрезок. Этот отрезок изображается стрелкой и обозначается или одной буквой со стрелкой ( )
Операции над векторами
Сложение
Операцию сложения геометрических векторов можно определить несколькими в принципе эквивалентными способами, каждый их которых однако может быть удобнее или естественнее в зависимости от ситуации и типа рассматриваемых векторов. Так, правило треугольника наиболее простое и геометрически фундаментальное, удобно для сложения любого количества векторов, однако правило параллелограмма более удобно для фиксированных или скользящих векторов, т.к. не требует переноса второго слагаемого (что в принципе могло бы смущать или запутывать в этих случаях) для построения суммы, т.е. удобно для сложения векторов с началом в одной точке, в добавок имея то преимущество, что в нем более очевидно равноправие слагаемых; координатное же определение, являясь простым и удобным, бывает очень полезно для вычислений.
Два вектора u, v и вектор их суммы
Правило треугольника. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора. Это правило прямо и естественно обобщается для сложения любого количества векторов, переходя в правило ломаной: начало второго вектор совмещается с концом первого, начало третьего - с концом второго итд, сумма же n векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом n-го (т.е. изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную).
Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.
Сложение векторов с использованием координат. Каждая координата (см. Базис и разложение по базису) суммы векторов есть сумма соответствующей координаты всех (двух или более) суммируемых векторов. Например, для двумерного случая:
(Могут быть использованы прямоугольные или косоугольные координаты; правило сложения остаются одинаковыми для обоих этих типов координат).
Модуль (длину) вектора суммы можно вычислить, например, используя теорему косинусов где — угол между отрезками, изображающими данные векторы, когда начало одного вектора совпадает с концом другого. Или: где — угол между векторами (выходящими из одной точки).
Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Тогда каждый из векторов переносится вдоль своей прямой в точку пересечения этих прямых, после чего сложение осуществляется по правилу параллелограмма.
Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало. Их сложение в этом случае осуществляется по правилу параллелограмма.
Сложение коллинеарных скользящих векторов
Если скользящие векторы параллельны, то при их сложении главная трудность состоит в определении прямой, на которой будет расположена их сумма. (Величину и направление вектора суммы было бы естественно определить точно так же, как и в случае сложения свободных векторов.) В механике при изучении статики для решения вопроса о сложении параллельных сил, которые, как известно, задаются скользящими векторами, вводится дополнительная гипотеза: к системе векторов можно добавить два вектора, равных по величине, противоположных по направлению и расположенных на одной прямой, пересекающей прямые, на которых расположены данные векторы. Пусть, например, надо сложить скользящие векторы и , расположенные на параллельных прямых. Добавим к ним векторы и , расположенные на одной прямой. Прямые, на которых расположены векторы и , и пересекаются. Поэтому определены векторы
Прямые, на которых расположены векторы и , пересекаются всегда, за исключением случая, когда векторы и равны по величине и противоположны по направлению, в котором говорят, что векторы и образуют пару (векторов).
Таким образом, под суммой векторов и можно понимать сумму векторов и , и эта сумма векторов определена корректно во всех случаях, когда векторы и не образуют пару.
Вычитание
Операция вычитания из вектора ветора сводится к сложению первого вектора и вектора, противоположного второму:
(Само сложение при этом осуществляется так, как описано в параграфе выше, пользуясь, если это удобно, любым из приведенных там альтернативных способов).
Однако легко видеть, что из правила треугольника можно получить и отдельное геометрическое определение разности. Для этого достаточно посмотреть на чертеж, иллюстрирующий сложение по правилу треугольника и осознать, что разность векторов и на этом чертеже есть вектор Отсюда прямо формулируется правило треугольника для вычитания векторов:
разность двух векторов с общим началом (или перенесенных параллельно так, чтобы начала совпали) есть вектор с началом, совпадающим с концом вычитаемого и концом, совпадающим с концом уменьшеаемого.
Это правило также может быть удобным.
Скалярное произведение
Основная статья: Скалярное произведение
Скалярное произведение двух векторов
Скалярное произведение на множестве геометрических векторов вводится, как
Скалярное произведение любого вектора и какого-то единичного вектора есть проекция (ортогональная проекция) вектора на направление этого единичного вектора:
Легко видеть, что скалярное произведение может быть записано через операцию (ортогонального) проецирования:
(где — проекция вектора на направление , — проекция вектора на направление ).
В абстрактном подходе обычно сперва вводят скалярное произведение, а уже через него определяют понятие угла, ортогональность, ортогональную проекцию.
Векторное произведение
Основная статья: Векторное произведение
Векторное произведение двух векторов
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:
длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла φ между ними
вектор ортогонален каждому из векторов и
вектор направлен так, что тройка векторов является правой.
Обозначение:
Геометрически векторное произведение есть ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах , представленная псевдовектором, ортогональным этому параллелограмму.
Свойства векторного произведения:
При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е
Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, то есть
Векторное произведение обладает распределительным свойством: