27 Вопрос Предел функции

Предел функции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел L в точке x₀, если для всех значений x, достаточно близких к x₀, значение f(x) близко к L.

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим (по абсолютной величине).

Предел функции обозначается как

или через символ предела функции:

Если при прочтении данного материала у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме, также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, геометрии, химии, теории вероятности и многим другим предметам.

Свойства пределов функции

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Расширенное свойство предела произведения

Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

28 Вопрос

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой сколь угодно малые изменения аргумента приводят к сколь угодно малым изменениям значения функции.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.

1. Непрерывность функции в точке.

Пусть / — вещественнозначная функция, определенная в некоторой окрестности точки aGl.

Описательно говоря, функция / непрерывна в точке а, если ее значения /(х) по мере приближения аргумента х к точке а приближаются к значению /(а) функции в самой точке а.

Уточним теперь это описание понятия непрерывности функции в точке.

Определение 0. Функция / называется непрерывной в точке а, если для любой окрестности V(f(a)) значения /(а) функции в точке а найдется та­кая окрестность U(а) точки а, образ которой при отображении / содержится в V(f(a)).

Приведем формально-логическую запись этого определения вместе с двумя его вариациями, часто используемыми в анализе:

/ непрерывна в точке а := VF(/(a)) 3U{a) {f(U(a)) С F(/(a))), Ve > 0 3U(a) Vx e U{a) (f{x) - f{a) < e), Ve > 0 36 > 0 Vx e Ж {x - a < S =>f{x) - /(a)| < e).

 

Эквивалентность этих формулировок для вещественнозначных функций следует из того, что (как уже неоднократно отмечалось) любая окрестность точки содержит некоторую симметричную окрестность этой точки.

Например, если по любой е-окрестности V^е(f (а)) точки /(а) можно подо­брать окрестность U(a) точки а так, что Vx G U(a) (|/(х) - /(a)| < е), т. е. f(U(a)) С V^е(f (а)), то и для любой окрестности V(f(a)) тоже можно подо­брать соответствующую окрестность точки а. Действительно, достаточно сначала взять V^е(f (а)) С V(/(a)), а затем по V^е(f (а)) найти U(a). Тогда f(U(a)) С V*{f{a)) С К(/(а».

Таким образом, если функция непрерывна в точке а в смысле второго из приведенных определений, то она непрерывна в ней и в смысле исходного определения. Обратное очевидно, поэтому эквивалентность первых двух фор­мулировок проверена.

Дальнейшую проверку оставляем читателю.

Чтобы не отвлекаться от основного определяемого понятия непрерывности функции в точке, мы сначала для простоты предположили, что функция / определена в целой окрестности точки а. Рассмотрим теперь общий случай.

Пусть / >Е —► Ж — вещественнозначная функция, определенная на некото­ром множестве Е с Е, и а — точка области определения функции.

Определение 1. Функция f: Е Ж называется непрерывной в точ­ке а ? Е, если для любой окрестности V(f(a)) значения /(а) функции, при­нимаемого ею в точке а, найдется такая окрестность Ue{o) точки а в мно­жестве¹) Е, образ которой /([/я (а)) содержится в V(f(a)).

Итак,

 

 

 

/ : Е —> Ж непрерывна в a G Е :=

= VV(/(a)) 3U_B(a) (f(U_E(a))cV(f(a))).

 

 

Разумеется, определение 1 тоже можно записать в е-5-форме, рассмотрен­ной выше. Там, где нужны числовые оценки, это бывает полезно и даже не­обходимо.

Запишем эти вариации определения 1:

 

 

/: Е —)> Ж непрерывна в a G Е :=

= Ve > О 3U_E(a) Vx <Е U_E(a) (|/(х) - /(о)| < е),

 

или

 

 

f: Е —>Ж непрерывна в a G Е :=

 

= Ve > 0 36 > 0 Vx <Е Е (|х - а < 6 => |/(х) - /(а)| < е).

 

Обсудим теперь детально понятие непрерывности функции в точке.

1) Напомним, что Ue(o) = Е П U(a).

 

1° Если а — изолированная, т. е. не предельная, точка множества Е, то найдется такая окрестность U(а) точки а, в которой нет других точек множе­ства Е, кроме самой точки а. В этом случае Ue{o) = а, и поэтому J(Ue{o)) = — f{o) С F(/(a)), какова бы ни была окрестность V(f(a)). Таким образом, в любой изолированной точке области определения функция, очевидно, непре­рывна. Но это вырожденный случай.

2° Содержательная часть понятия непрерывности относится, таким обра­зом, к тому случаю, когда a G Е и а — предельная точка множества Е. Из определения 1 видно, что

 

(/: Е —► Ж непрерывна в а ? -Б, где а — предельная точка Е)

lim f(x) = f(a)).

ЕЭх-+а                    /

 

4 В самом деле, если а — предельная точка Е, то определена база Е Э х —У а

о

проколотых окрестностей Ue{o) = Ue(o)  а точки а.

Если / непрерывна в точке а, то, найдя для окрестности V(f(a)) окрест­ность Ue{o) такую, что /(t/#(a)) С V(f(a)), мы одновременно будем иметь

о

I{Ue{o)) С V(f(a)) и в силу определения предела, таким образом,   lim f(x) =

ЕЭх—>а

= f(a).

Обратно, если известно, что   lim  f(x) = /(а), то по окрестности V(f(a))

ЕЭх-+а

о                                                                        о

найдем проколотую окрестность Ue(o>) так, что /({/^(а)) С V(f(a)). Но по­скольку /(а) G У(/(а)), то тогда и /(С/^(а)) С V(f(a)). В силу определения 1 это означает, что функция / непрерывна в точке a G Е. ►

3° Поскольку соотношение   lim f(x) = f(a) можно переписать в форме

ЕЭх—>а

 

lim  }{х) = / (   lim  ж),

ЕЭх-+а                                        ЕЭх—>а   /

 

мы теперь приходим к полезному заключению, что непрерывные в точке функ­ции (операции) и только они перестановочны с операцией предельного пере­хода. Это означает, что то число /(а), которое получается при выполнении операции / над числом а, можно сколь угодно точно аппроксимировать зна­чениями, получаемыми при выполнении операции / над соответствующими заданной точности приближенными значениями х величины а.

4° Если заметить, что при a G Е окрестности Ue{o) точки а образуют базу В_а (независимо от того, является ли а предельной или изолированной точкой множества), то мы увидим, что само определение 1 непрерывности функции в точке а совпадает с определением того, что число /(а) — значение функции в точке а — является пределом функции / по этой базе, т. е.

 

(f:E-+ Ж непрерывна в a G Е)      ^Ит/(ж) = /(а)^.

 

5° Заметим, однако, что если lim f(x) существует, то, поскольку a G Ue(o)

для любой окрестности Ue{o), этот предел неизбежно оказывается равным /(а).

Таким образом, непрерывность функции /: Е —► Ж в точке а ? Е равно­сильна существованию предела этой функции по базе В_а окрестностей (но не проколотых окрестностей) Ue{o) точки а в Е.

Итак,

(f:E-> Ж непрерывна в а ? Е) О* (3 Urn f(x)^.

 

6° В силу критерия Коши существования предела теперь можно сказать, что функция непрерывна в точке a G Е тогда и только тогда, когда для любого е > О найдется окрестность Ue(o) точки а в Е такая, на которой колебание cj(/; Ue{o)) функции меньше е.

 

Определение 2.  Величина cj(/;а) = lim u(f;U^(a)) (где U^(a) есть

б—у--0

5-окрестность точки а в множестве Е) называется колебанием функции f: Е —У Ж в точке а.

Формально символ u(fX) уже занят, он обозначает колебание функции на множестве X. Однако мы никогда не будем рассматривать колебание функ­ции на множестве, состоящем из одной точки (это колебание, очевидно, равно нулю); поэтому символ и;(/;а), где а — точка, всегда будет обозначать то понятие колебания функции в точке, которое мы только что ввели определе­нием 2.

Колебание функции на подмножестве не превышает колебания функции на множестве, поэтому величина uj(f;U^(a)) есть невозрастающая функция от S. Поскольку она неотрицательна, то либо она имеет конечный предел при S —> +0, либо при любом 6 > 0 выполнено u(f;U^(a)) = +оо. В последнем случае естественно полагают cj(/; а) = +оо.

7° Используя определение 2, сказанное в 6° теперь можно резюмировать так: функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда ее колебание в этой точке равно нулю. Зафиксируем это:

 

 

(/:£-> R непрерывна в о Е £) ^ (Ц/; <*) = 0).

 

 

Определение 3. Функция /: Е —> Ж называется непрерывной на мно­жестве Е, если она непрерывна в каждой точке множества Е.

Совокупность всех вещественнозначных функций, непрерывных на множе­стве Е, условимся обозначать символом С(Е;Ж) или, короче, С(Е).

Мы обсудили понятие непрерывности функции. Рассмотрим теперь некоторые примеры.

 

Пример 1. Если f: Е -+ Ж — постоянная функция, то / G С(Е). Это утверждение очевидно, ибо f(E) = с С V(c), какова бы ни была окрестность V(c) точки с G

 

Пример 2. Функция f(x) = х непрерывна на Действительно, для любой точки xq G Ж имеем f(x) — f(xo) = х — хо < е, как только х — xq < 6 = е.

 

Пример 3. Функция /(х) = sinx непрерывна на В самом деле, для любой точки x₀Gi имеем

 

s inx — sinxo =

 

 

2 £2

_n      X + х₀  .   X - Хо

2 cos —-—- sin

 

 

sin

 

 

 

 

 

£2

 

 

 

 

 

X — Xq

 

 

 

 

 

 

= |х - х₀| < £,

 

 

как только |х — Хо| < S = е.

Мы воспользовались неравенством |sinx| ^ |х|, доказанным в гл. III, §2, п. 2d, пример 9.

Пример 4. Функция /(х) = cosx непрерывна на Ж. Действительно, как и в предыдущем примере, для любой точки хо ? имеем

 

c os х — cos Xq

 

 

2 £2

₀ . х 4- хо . х — хо 2 shi-—^-^sin

 

 

sin

 

 

 

 

 

^  x - х₀  < £,

 

 

как только |х — хо| < S = е.

Пример 5. Функция /(х) = а^х непрерывна на Действительно, по свойству 3) показательной функции (см. гл. III, § 2, п. 2d, пример 10а) в любой точке Хо G Ж имеем

 

lim а^х = а^Хо,

 

что, как мы теперь знаем, равносильно непрерывности функции а^х в точке хо-

Пример 6. Функция /(х) = log_ax непрерывна в любой точке хо G Ж+ области определения К+ = {х ? Ж х > 0}.

В самом деле, по свойству 3) логарифмической функции (см. гл. III, § 2, п. 2d, пример 10Ь) в любой точке хо ? К+ имеем

 

lim    log_ax = log_ax₀,

 

 

что равносильно непрерывности функции log_a х в точке хо.

Попробуем, кстати, по заданному е > 0 найти окрестность £/r₊(xo) точки хо так, чтобы в любой точке х G C/r+(xo) иметь

 

|log_ax -log_ax₀| < е.

 

Это неравенство равносильно соотношению

< bg_a f - <е.

Хо

Пусть для определенности а > 1; тогда последнее соотношение равносильно условию

хоа^-* < х < х₀а^£.

Интервал ]хоа~^£, хоа^£[ и есть искомая окрестность точки Хо. Полезно обратить внимание на то, что эта окрестность зависит как от величины е, так и от самой точки хо, чего не наблюдалось в примерах 1 — 4.

Пример 7. Любая последовательность / : N —► Ж есть функция, непре­рывная на множестве N натуральных чисел, поскольку каждая точка множе­ства N является его изолированной точкой.