22 Вопрос Бесконечно малая величина
Последовательность
называется
бесконечно малой, если
.
Например, последовательность чисел
—
бесконечно малая.
Функция
называется бесконечно малой в
окрестности точки
,
если
.
Функция
называется бесконечно малой на
бесконечности, если
либо
.
Также
бесконечно малой является функция,
представляющая собой разность функции
и её предела, то есть если
,
то
,
.
Свойства бесконечно малых
Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
Если — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то
— бесконечно
большая последовательность.
23 Вопрос Определение
Число
называется
пределом числовой последовательности
,
если последовательность
является
бесконечно малой, т. е. все её элементы,
начиная с некоторого, по модулю меньше
любого заранее взятого положительного
числа.
В
случае, если у числовой последовательности
существует предел в виде вещественного
числа
,
её называют сходящейся к этому
числу. В противном случае, последовательность
называют расходящейся. Если к
тому же она неограниченна, то её предел
полагают равным бесконечности.
Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.
Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.
Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей.
Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек.
Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.
Обозначения
Тот факт, что последовательность сходится к числу обозначается одним из следующих способов:
;
.
Свойства
Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел.[2]
Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.
Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из доказываемых ниже свойств предела.
Свойства Арифметические свойства
Оператор взятия предела числовой последовательности является линейным, т. е. проявляет два свойства линейных отображений.
Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.
Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.
Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.
Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.
