- •8 Вопрос
- •9 Вопрос Координаты вектора
- •Свойства
- •Модуль вектора
- •10 Вопрос Скалярное произведение векторов
- •11 Вопрос Формула для вычисления скалярного произведения векторов через их координаты.
- •Формула для вычисления угла между векторами.
- •12 Вопрос
- •13 Вопрос
- •14 Вопрос
- •15 Вопрос
- •16 Вопрос
- •17 Вопрос Расстояние от точки до прямой
- •Теорема доказана.
- •18 Вопрос
- •Окружность
- •19 Вопрос Гипербола
- •20 Вопрос Парабола
- •21 Вопрос числовые последовательности VI
- •§ 129. Ограниченные и неограниченные числовые последовательности
- •22 Вопрос Бесконечно малая величина
- •23 Вопрос Определение
- •Обозначения
- •Свойства
- •Свойства Арифметические свойства
- •Свойства сохранения порядка
- •Другие свойства
- •24 Вопрос
- •Промежутки монотонности
- •26 Вопрос Непосредственное вычисление пределов, таблица пределов функций.
- •27 Вопрос Предел функции
- •Свойства пределов функции
- •28 Вопрос
- •1. Непрерывность функции в точке.
- •29 Вопрос Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •30 Вопрос
- •Определение производной функции через предел
Промежутки монотонности
Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров , а лишь для номеров из некоторого диапазона
(здесь допускается обращение правой границы в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке , а сам диапазон называется промежутком монотонности последовательности.
Mонотонные и ограниченные последовательности. Число е.
Последовательность называется
возрастающей, если ,
убывающей, если .
Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными. Последовательность называется ограниченной сверху, если все члены последовательности . Последовательность называется ограниченной снизу, если все члены последовательности . Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу. Пример: исследовать последовательность на монотонность и ограниченность. Решение:
ограничена снизу. (Если )
убывает, поэтому ограничена сверху.
Ответ: последовательность ограничена и монотонно убывает. Теорема Вейерштрасса: Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. Число е. Последовательность
возрастает
ограничена: по теореме Вейерштрасса .Его обозначают буквой e и называют числом e.
26 Вопрос Непосредственное вычисление пределов, таблица пределов функций.
Непосредственное вычисление пределов основано на определении непрерывности функции в точке, на определении предела функции на бесконечности и на использовании свойств предела непрерывной функции. Утверждение. Значение предела в точке непрерывности функции равно значению функции в этой точке. То есть, для основных элементарных функций (и функций полученных из основных элементарных с помощью элементарных преобразований графиков), опираясь на их известные свойства, предел в любой точке из области определения, кроме граничных, можно вычислять как значение соответствующей функции в этих точках. Пример. Вычислить предел Решение. Так как функция арктангенса непрерывна на всей области определения, то она непрерывна и в точке . Следовательно, значение предела равно значению функции в этой точке. В граничных точках области определения вычисляются односторонние пределы. Например, для арксинуса и арккосинуса при или . На плюс или минус бесконечности вычисляются соответствующие пределы при или на основании определеня предела функции на бесконечности. Самые используемые свойства пределов.
, где k – коэффициент.
, если в результате не выходит одна из неопределенностей пределов.
Для непрерывных функций знак предельного перехода и знак функции можно менять местами:
Массу пределов можно вычислить зная свйства основных элементарных функций. Приведем значение пределов этих функций в таблице, а ниже дадим разъяснения и несколько примеров с решениями. Все значения можно вычислить основываясь на определении предела функции в точке и на бесконечности. Таблица пределов функций Держите эту таблицу основных пределов перед глазами при решении задач и примеров. Она значительно упростит Вам жизнь.