1.4. Содержание отчета

1. Цель работы.

2. Схемы опытов.

3. Таблицы опытных данных.

4. Графики характеристик.

5. Выводы.

1.5 Домашнее задание

1. Ознакомиться со схемотехникой базовых элементов КМДП транзисторной логики, зарисовать принципиальные схемы и изучить принцип их работы.

2. Зарисовать условные графические обозначения изучаемых ЛЭ и записать логические функции, реализуемые этими элементами.

3. Продумать и нарисовать реализацию основных логических функций (И, НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ, исключающее ИЛИ) на элементах типа И-НЕ.

4. Нарисовать схемы изучаемых ЛЭ и комбинационных устройств И-НЕ, ИЛИ-НЕ, И, ИЛИ, исключающее ИЛИ, неравнозначность, функция четности, функция сравнения двух двухразрядных чисел, а также составить таблицы истинности для каждого устройства.

1.6 Контрольные вопросы

1. Почему увеличение числа входов логического элемента ИЛИ-НЕ влияют н быстродействие?

2. Каким образом число входов логического элемента И-НЕ влияет на уровень логического нуля ( )?

3. Какие факторы определяют потребляемую КМДП (КМОП) логическими элементами мощность (энергию) от источника питания?

4. Как из таблицы истинности логического элемента определить аналитическое выражение(логическую функцию), характеризующее его работу?

5. Каким образом в условных обозначенных логических элементах отображается характер математической операции (И, ИЛИ, НЕ)?

6. Чем ограничивается общее число значений логической функции?

7. Можно ли объединять выходы КМОП (КМДП) логических элеметнов?

8. Какие режимы работы транзисторов исползуются в схемах, приведенных на рис.1.1, 1.2, 1.3?

9. Что изменяет режимы работы транзисторов в рассматриваемых логических элементах?

2. Проектирование комбинационно-логических устройств

2.1.Цель работы

Изучение методов синтеза комбинационных цифровых схем и экспериментальная проверка результатов синтеза комбинационных схем, заданных таблицей истинности.

2.2. Краткая теория вопроса

Теоретической основой построения цифровых устройств на базе логических элементов (ЛЭ) является алгебра логики. Переменная величина Х в этой алгебре может принимать два значения: Х = 1(логическая единица) или Х = 0 (логический нуль). Существуют три основные операции, лежащие в основе алгебры логики.

Первая операция представляет собой логическое отрицание (инверсию). Такое преобразование называют операцией НЕ и записывают в виде . Так, если Х = 1, то Y = 0, а при Х = 0 Y = 1.

Вторая операция - дизъюнкция - является операцией логического сложения или операцией ИЛИ. Для двух переменных она записывается в виде или . Y = 0 только тогда, когда = 0 и = 0.

Третья операция называется конъюнкцией и является операцией логического умножения или операцией И ( или ). Здесь Y=1 при =1, =1.

Приведенные операции образуют полный базис. Составив таблицу истинности для логического сложения и умножения, легко установить, что операции ИЛИ (Y= + ) в положительной логике соответствует операция И ( ) в отрицательной логике и наоборот. В этом заключается принцип двойственности алгебры логики. Следовательно, как НЕ и ИЛИ, так и НЕ и И можно рассматривать как два полных минимальных базиса.

Основные соотношения, правила и теоремы алгебры логики приведены в табл. 2.1.

Для схемной реализации функционально полных устройств с минимальным логическим базисом идут по пути использования универсальных логических элементов. Такими ЛЭ являются схемы, обеспечивающие выполнение операций ИЛИ-НЕ ( - стрелка Пирса) и И-НЕ ( - штрих Шеффера). Используя соотношения табл. 2.1, несложно убедиться, что эти элементы позволяют реализовать все логические операции над переменными Х.

В общем случае логическая функция Y может зависеть от нескольких переменных Х₁, Х₂, ..., Х_n. Функция Y определена, если известны ее значения для всех возможных наборов двоичных переменных. Функция Y не определена, когда некоторые сочетания переменных по условию задачи невозможны. В этом случае ее можно доопределить, приписав ей значение “1” либо “0” по соображениям удобства реализации.

Таблица 2.1

Наименование	Математическая запись
Соотношения	X+X=X, X 0=0; X+1=1, X 1=X;
	X+X=X, X X=X; X+ =1, X =0;
Законы	Коммутативный	X1+X2=X2+X1, X1 X2=X2 X1;
	Дистрибутивный	X1+X2 X3=(X1+X2) (X1+X3),
		X1 (X2+X3)=X1 X2+X1 X3
	Ассоциативный	X1+(X2+X3)=(X1+X2)+X3
		X1 (X2 X3)=(X1 X2) X3.
	Поглощения	X1+X1 X2=X1, X1 (X1+X2)=X1
Правила	Склеивания	(X1+X2) (X1vX2)=X2
		X1 X2+X1X2=X2;
	Двойного отрицания	X=
Теорема	де Моргана	,

Наиболее часто связь между логической функцией и логическими переменными задается в виде таблицы истинности или в алгебраической форме. Таблица истинности позволяет просто и наглядно отобразить функциональную зависимость, но не дает возможности определить структуру логического устройства, которое способно реализовать такие преобразования. Определить структуру логического устройства можно, исходя из алгебраической формы записи. Переход от таблицы истинности к алгебраической форме записи производится с использованием совершенной конъюнктивной нормальной формы (СКНФ), либо совершенной дизъюнктивной нормальной формы (СДНФ).

При использовании СДНФ составляется сумма произведений переменных для истинных (равных 1) значений Y. Если при составлении произведения (минтерма) какая-либо переменная в рассматриваемой строке равна 0, то берется ее инверсное значение. Для получения алгебраического выражения функции в СКНФ в таблице истинности выделяются строки, в которых Y=0, и аналогично составляется произведение сумм (макстермов) переменных. Поясним сказанное на примере таблицы истинности для функции трех переменных (табл. 2.2).

Таблица 2.2

Х1	Х2	Х3	Y
0	0	0	0
0	0	1	0	для
0	1	0	0	СКНФ
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1	для
1	1	0	1	СДНФ
1	1	1	1

При использовании СДНФ значения переменных следующие:

Х1 = 1,	Х2 = 0,	Х3 = 1,	;
Х1 = 1,	Х2 = 1,	Х3 = 0,	;
Х1 = 1,	Х2 = 1,	Х3 = 1,	.

Алгебраическое выражение для функции Y принимает вид

Y= + + . (2.1)

Для получения алгебраического выражения в СКНФ выделяются первые пять строк:

Х1 = 0,	Х2 = 0,	Х3 =0,	Х1 + Х2 + Х3;
Х1 = 0,	Х2 = 0,	Х3 = 1,	Х1 + Х2 + Х3;
Х1 = 0,	Х2 = 1,	Х3 = 0,	Х1 + Х2 + Х3;
Х1 = 0,	Х2 = 1,	Х3 =1,	Х1 + Х2 + Х3;
Х1 = 1,	Х2 = 0,	Х3 = 0,	Х1 + Х2 + Х3.

Следовательно,

.

Применяя к приведенному выражению законы и правила (табл. 2.1), получим

, (2.2)

что и подтверждает эквивалентность полученных форм.

Соотношения (2.1), (2.2) позволяют определить структуру логического устройства, которое осуществляет операции в соответствии с таблицей истинности. Например, из формулы (2.1) следует, что логическое устройство должно иметь два инвертора (НЕ) (Х2, Х3), три схемы логического умножения (И) ( , , ) и одну схему логического сложения (рис. 2.1).

Полученная структура является неоптимальной с точки зрения числа логических элементов и скорости выполнения необходимых операций.

Для минимизации числа ЛЭ структуры необходимо выполнить минимизацию логической функции, которая осуществляется с использованием соотношений, законов и теоремы алгебры логики. Получаемая в результате минимизации алгебраическая форма называется тупиковой. Современные методы минимизации позволяют в известной мере автоматизировать процедуру поиска тупиковых форм. В случае небольшого числа переменных (n<6) хорошие результаты дает метод с использованием карт Карно. Реализация метода осуществляется в несколько этапов.

Рис. 2.1. Структурная схема неминимизированного

логического устройства

На первом этапе для исходной логической функции составляется карта Карно, представляющая собой таблицу, в верхней строке и левом столбце которой приводятся все возможные сочетания логических переменных, причем в соседних сочетаниях должна изменяться только одна переменная. Значения функции в клетках таблицы соответствуют данному сочетанию переменных. Для рассматриваемого примера карта Карно приведена в табл. 2.3.

Таблица 2.3

Х3		Х1	Х2
	00	01	11	10
0	0	0	1	0	Х1 Х2
1	0	0	1	1
			Х1 Х3

На втором этапе выделяются клетки, содержащие единицы, и осуществляется их объединение по следующим правилам:

- объединяются соседние клетки, в том числе и составляющие полные квадраты, полные столбцы или строки и соседние столбцы или строки;

- соседними считаются также верхняя и нижняя клетки одного столбца, левая и правая клетки одной строки(в объединение входит 2ⁱ логических единиц);

- одна и та же клетка может быть объединена несколько раз (один раз с соседней клеткой в строке и другой раз с соседней клеткой в столбце).

Для нашего примера такое объединение показано в табл. 2.3 затенением.

Заключительный этап посвящен получению минимизированной дизъюнктивной нормальной формы (МДНФ) логической функции. Для объединенных по указанным правилам клеток составляются логические произведения, в которые входят только переменные, остающиеся неизменными для всех клеток данного объединения. Если какая-либо клетка остается необъединенной, то соответствующее ей логическое произведение содержит все переменные. Число слагаемых в МДНФ равно числу объединений и числу необъединенных клеток. Таким образом, для рассматриваемого примера

Y=X1 X2+X1 X3=X1 (X2+X3). (2.3)

Легко установить, что полученная функция соответствует таблице истинности (табл. 2.2), а функциональная схема соответствующего логического устройства (рис. 2.2) проще приведенной на рис. 2.1.

Рис. 2.2. Функциональная схема минимизированного устройства

При схемной реализации логической функции с использованием универсальных логических элементов И-НЕ или ИЛИ-НЕ минимизированную алгебраическую форму представляют в виде комбинации операций, выполняемых этими элементами.

Например,

, (2.4)

поэтому эту функцию можно реализовать на трех универсальных элементах И-НЕ.

Выполнение обсуждаемой лабораторной работы предполагает построение принципиальной схемы логического устройства для четырех переменных X₁, X₂, X₃, X₄ в элементном базисе функций двух переменных. При этом в составе учебно-лабораторного стенда имеется – 3 элемента «исключающее ИЛИ», 4 элемента И-НЕ, 3 элемента ИЛИ-НЕ, 2 элемента И, 1 элемент ИЛИ, 4 элемента НЕ.

Ограничения подобного характера являются типовыми для задач инженерного типа и требуют дополнительной аналитической работы с тупиковой формой, направленной на выделение или формирование реализуемого в конкретном базисе набора промежуточных переменных и функций. Поясним сказанное на конкретном примере синтеза комбинационно-логического устройства. В таблице 1.4 приведена карта Карно для одной из функций четырех переменных.

Таблица 2.4

	00	01	11	10
00	1	1	0	0
01	0	0	1	1
11	0	0	1	1
10	1	0	0	0

В соответствии с изложенным выше принципом поиска тупиковой формы здесь целесообразно использовать МДНФ (число единиц меньше числа нулей в карте), при этом существуют только три объединения, позволяющих определить конъюнкции (y₁,y₂,y₃), приводящих к МДНФ

(2.5)

Отсутствие ограничений на элементный базис реализации приводит в соответствии с теоремой де Моргана к следующему конечному выражению

(2.6)

и принципиальной схеме, показанной на рис. 2.3 . Необходимость использования логических элементов двух переменных требует предварительного преобразования МДНФ (2.5)

(2.7)

следовательно, для реализации функции Y требуются логические элементы ИЛИ-НЕ, И-НЕ, И и ИЛИ с двумя входами (рис. 2.4).

Сравнение схем, приведенных на рис.1.3 и 1.4 показывают, что ограничения на элементный базис реализации логических устройств приводит к увеличению числа логических элементов (4 и 5) и увеличению временной задержки (2t_з и 3t_з).

Внимательный читатель заметил, что работа с МДНФ проще работы с МКНФ, поэтому если в карте Карно число нулей меньше числа единиц логический функции, то можно использовать МДНФ для инверсии логической функции, сохраняя эквивалентность логических высказываний.

Рис. 2.3 Принципиальная схема логического устройства

(в базисе ИЛИ-НЕ, И, ИЛИ)

Рис. 2.4 Принципиальная схема логического устройства в базисе элементов с двумя входами