Первый замечательный предел
Доказательство.
I
способ.
Рассмотрим односторонние
пределы
и
и
докажем, что они равны 1.
Пусть
.
Отложим этот угол на единичной окружности
(
).
Точка K —
точка пересечения луча с окружностью,
а точка L —
с касательной к единичной окружности
в точке
.
Точка H —
проекция точки K на
ось OX.
Очевидно,
что:
(1)
(где
—
площадь сектора
)
(из
:
)
Подставляя
в (1), получим:
Так
как при
:
Умножаем
на
:
Перейдём
к пределу:
Найдём
левый односторонний предел:
Правый
и левый односторонний пределы существуют
и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствия