Определения
Рассмотрим функцию , определённую на некотором множестве , которое имеет предельную точку (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).
[Править]Предел функции по Гейне
Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ), последовательность значений функции сходится к .[1]
[Править]Предел функции по Коши
Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .[1]
Пусть f(x) определена в проколотой окрестности точки а, тогда
Lim (x->a) f(x)=b (lim(x-> a+0) f(x)=b) and (lim (x->a-0) f(x)=b).
Доказательство.
Существует lim (x->a) f(x)=b любой эпсилон>0 существует дельта(эпсилон)>0, такое, что любой x принадлежит проколотой окрестности точки а при отрезке дельта, /f(x)-b/<EPS.
0</x-a/<дельта (a-дельта<x<a) or (a<x<a+дельта).
Тогда получим, что x принадлежит проколотой окрестности точки (а+-0) на отрезке дельта =>
/f(x)-b/ <EPS=>существует lim (x->a+-0) f(x)=b.
Дельта1: дельта12(EPS)>0 a<x<a+дельта /f(x)-b/<EPS
Любой EPS, дельта (EPS)=min{дельта1(EPS),дельта2(EPS) }, тогда
Любой x принадлежит проколотой окрестности точки а на отрезке дельта, /f(x)-b/<EPS существует lim(x->a) f(x)=b.
11. Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел
Область определения D функции f cодержит некоторую
f локально ограничена в точке x0, если она ограничена в некоторой окрестности этой точки $M$d>0"xÎU(x0)ÇD:|f(x)|£M.
Т. Функция f имеющая конечный предел в окрестности точки x0 локально ограничена в точке x0.
Доказательство: e=1,M=max{|A-1|,|A+1|,f(x0)} или M=max{|A-1|,|A+1|}
Замечание. Теорема верна и в случае
F(x)<M.
/f(x)/=/f(x)-b+b/<=/f(x)-b/+/b/<EPS+/b/=M.
12. Бесконечно малые функции. Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой.
17.1. Определения и основные теоремы
Функция у=f(х) назівается бесконечно малой при х→x0,если
По определению предела функции равенство (17.1) означает: для любого числа ε>0 найдется число δ>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-x0|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|<ε.
Аналогично определяется б.м.ф. при х→хо+0, х→x0-0, х→+∞, х→-∞: во всех этих случаях ƒ(х)→0.
Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами α, ß и т. д.
Пример:хn=1/n, nєN, — бесконечно малая последовательность.
Теорема 17.5. Если функция ƒ(х) имеем предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(х), т. е. если limƒ(х)=А, при Х→Хо то ƒ(х)=А+а(х).
▼ Пусть
Следовательно, т. е. |ƒ(х)-А-0|<ε. Это означает, что функция ƒ(х)-А имеет предел, равный нулю, т. е. является б.м.ф., которую обозначим через α(х): ƒ(х)-А=α(х). Отсюда ƒ(х)=А+α(х).▲
13. Теоремы о сумме бесконечно малых и произведении б.м. на ограниченную функцию.
Теорема 17.2 Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.
▼ Пусть функция ƒ(х) ограничена при х→хо. Тогда существует такое число М>0, что
для всех х из δ1-окрестности точки хо. И пусть α(х)—б.м.ф. при х→x0. Тогда для любого ε >0, а значит, и ε /М> 0 найдется такое число δ2>О, что при всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-хо|<δ2, выполняется неравенство
Обозначим через δ наименьшее из чисел δ1 и δ2. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-хо|<δ, выполняются оба неравенства (17.4) и (17.5). Следовательно, |ƒ(х)-α(х)|=|ƒ(х)|-|а(х)|<ε.
А это означает, что произведение ƒ(х)•α(х) при х→х0 есть бесконечно малая функция.▲
Следствие 17.1. Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы (17.2) вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.
Следствие 17.2. Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.
Теорема 2. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Пусть и – бесконечно малые последовательности. Это означает, что для любого числа существуют такие номера и , что для всех номеров и для всех номеров выполняются условия и соответственно. Тогда для всех номеров выполняется условие , а это и означает, что последовательность – бесконечно малая.
Следствие 1. Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Следствие 2. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
14. Теорема о пределе суммы, произведения, частного функций.
Т.3: Предел суммы конечного числа функций, имеющих пределы при х а, равен сумме их пределов
Пусть тогда по теореме 2 име-
ем где — б.м. при
х а, следовательно, Используя лемму 1 о б.м., заключаем, что — б.м. при
и по теореме 2 получаем равенство b1 + b2
Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:
.
Доказательство. Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x) и
fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).
Произведение bc есть величина постоянная. Функция bβ + c α + αβ на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому .
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
.
Следствие 2. Предел степени равен степени предела:
.
Пример. .
Т.5: Предел отношения двух функций, имеющих пределы при х а, равен отношению их пределов (если предел знаменателя не нуль), т.е.
Пусть тогда, используя Т.2, аналогично доказательству Т.3 запишем
где Числитель последней дроби по леммам о б.м. является б.м. Покажем, что является функцией ограниченной, тогда дробь по лемме 2 о б.м. является б.м., и по Т.2:
Имеем в некоторой окрестности т. а для любого > 0 вследствие справедливости
т.е. ограниченность доказана
15. Теорема о пределе сложной функции.
Теорема 3 (о пределе сложной функции). Если существует конечный предел
а функция f(u) непрерывна в точке , то
Другими словами, для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами.
Непосредственное применение теорем о пределах, однако, не всегда приводит к цели. Например, нельзя применить теорему о пределе частного, если предел делителя равен нулю. В таких случаях необходимо предварительно тождественно преобразовать функцию, чтобы иметь возможность применить следствие из теоремы 1.
Пример 8. Найти
Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, так как
Преобразуем заданную дробь, разложив числитель и знаменатель на множители. В числителе получим
где
корни квадратного трёхчлена. Теперь, полагая , сократим дробь и, используя следствие из теоремы 1, вычислим предел данной функции:
16. Теорема о знакопостоянстве функции, имеющей отличный от нуля предел
Если , то существует окрестность точки а, в которой и знак совпадает со знаком значения b.
Доказательство: по условию , т.е. , или справедливы неравенства .
Возьмём за число . Тогда , , являются числами одного знака. Следовательно, в силу неравенства , и имеет знак числа b в указанной -окрестности точки а.
17. Теорема о предельном переходе в неравенстве.
Теорема 5.1
Если функция имеет предел в некоторой проколотой окрестности точки a, равный A, и принимает неотрицательные значения, то и значение предела этой функции больше или равно 0, т.е.
,
Доказательство
(Методом от противного). Допустим, что A<0. Возьмем . Тогда ,
Получаем, что для любого из пересечения проколотых окрестностей и одновременно выполняются следующие неравенства:
и . Тем самым мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
18. Теорема о пределе промежуточной функции (теорема о 2-х милиционерах)
Теорема 17.10 (о пределе промежуточной функции). Если функция ƒ(х) заключена между двумя функциями φ(х) и g(х), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т. е. если
то
▼Из равенств (17.6) вытекает, что для любого ε>0 существуют две окрестности δ1 и δ2точки хо, в одной из которых выполняется неравенство |φ(х)-А|<ε, т. е.
-ε<φ(х)-А<ε, (17.8)
а в другой |g(х)-А|<ε, т. е.
-ε<g(х)-А<ε. (17.9)
Пусть δ — меньшее из чисел δ1 и δ2. Тогда в δ-окрестности точки x0 выполняются оба неравенства (17.8) и (17.9). Из неравенств (17.7) находим, что
φ(x)-A≤f(x)-A≤g(x)-A (17.10)
С учетом неравенств (17.8) и (17.9) из неравенства (17.10) следуют неравенства -ε<ƒ(х)-А<ε или |ƒ(х)-А|<ε. Мы доказали, что
ε>0 δ>0 x: 0<|х-х0|<δ |ƒ(х)-А|<ε, то есть lim ƒ(х)=А при х –> x0.
Теорему 17.10 иногда шутливо называют «принципом двух милиционеров». Роль «милиционеров» играют функции φ(х) и g(х), функция ƒ(х) «следует за милиционерами»▲
19. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функции. (лекция №26, тетр. 3)
20. . Первый замечательный предел и следствия из него.