Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей (теорема Штейнера)

Для данной фигуры, площадь сечения которой равна А (рис. 8.3), оси x, y - центральные оси, называемые еще собственными осями. Собственные моменты инерции J_x, J_y относительно этих центральных осей фигуры известны. Требуется определить моменты инерции относительно осей x₁, y₁, параллельных собственным осям.

Интеграл - статический момент площади сечения относительно оси x.

Ось x - центральная ось. Относительно центральной оси статический момент равен нулю. Аналогично можно получить выражение для момента инерции относительно оси y₁.

.

Момент инерции относительно оси, параллельной собственной оси, равен собственному моменту инерции, плюс площадь сечения, умноженная на квадрат расстояния между осями (теорема Штейнера).

Следует запомнить, что в теореме Штейнера одна из осей должна быть обязательно собственной осью. Это значит, что нельзя осуществлять переход от произвольной оси к произвольной, а только от собственной оси (т.е. от оси, проходящей через центр тяжести сечения фигуры) к произвольной оси и наоборот.

Пример (проектировочный расчет).

Для заданной балки (рис.8.5)

и заданного сечения (рис.8.4) определить

допустимое значение нагрузки q_доп.

Дано: F, l, a, σ_т, n_т.

Рис.8.4

Рис.8.5 Рис.8.6

Решение

Допустимую нагрузку определяют из условия прочности:

. (1)

В этом выражении - допустимое напряжение, оно равно

Масимальное напряжение σ_max = . Чтобы определить это максимальное

напряжение, надо знать максимальный изгибающий момент. Поэтому сначала построим эпюры (рис.8.5). Согласно эпюре М_x , максимальный изгибающий момент .

Для определения максимального напряжкения надо знать J_x –осевой момент инерции площади сечения относительно нейтральной линии (оси x), которая проходит через центр тяжести сечения. Поэтому прежде всего надо найти положение центра тяжести по формуле

Выберем вспомогательную ось x₁, проведя ее через основание фигуры (рис.8.4).

S_x1 – статический момент площади сечения относительно этой вспомогательной оси x₁. Разбиваем сечение на два прямоугольника. Статический момент каждой из фигур равен площади прямоугольника, умноженной на расстояние от центра тяжести этой площади до оси x₁. В знаменателе формулы - площадь всего сечения А, y_с – расстояние от вспомошательной оси x₁ до центра тяжести всей фигуры:

.

На рис. 8.6 отмечен центр тяжести сечения «С» на расстоянии 5а от оси x₁ и показана эпюра нормальных напряжений σ.

Определяем моменты инерции обеих фигур по теореме Штейнера как собственный момент инерции плюс площадь фигуры, умноженная на квадрат расстояние от центра тяжести этой фигуры до нейтральной линии, т.е. до оси x:

.

Подставим полученные значения J_x и y_max в условие прочности (1), получим

, откуда допустимое значение нагрузки равно

.

Поперечный изгиб

При поперечном изгибе изгибающий момент изменяется по длине участка. В сечении бруса кроме изгибающего момента возникает еще поперечная, или перерезывающая сила Q_y (рис. 8.7а), распределенная по сечению в виде касательных напряжений t (рис. 8.7б). Эта поперечная сила равна .

Рис. 8.7

Касательные напряжения вызывают угловые деформации g, вследствие которых сечения бруса при поперечном изгибе не остаются плоскими, они искривляются. Однако это искривление сечений не сказывается заметным образом на величине нормальных напряжений, и они при поперечном изгибе определяются по тем же формулам, что и при чистом изгибе: , .

Можно доказать, что касательные напряжения при поперечном изгибе значительно меньше нормальных напряжений ( , но обычно длина бруса l значительно больше высоты сечения Н, l >> H). Кроме того, касательные напряжения, распределенные по сечению при поперечном изгибе неравномерно, достигают своего наибольшего значения в области нейтральной линии, то есть там, где s = 0.

При расчете на прочность при поперечном изгибе касательные напряжения t обычно не учитываются. Эти напряжения существенны только при оценке прочности коротких брусьев (рис. 8.8), у которых касательные напряжения соизмеримы по величине с нормальными напряжениями; при расчете тонкостенных конструкций (рис. 8.9), у которых возможно возникновение выпучивания вертикальных стенок из-за потери устойчивости, а также при расчете листовых конструкций типа рессор (рис. 810).

Рис. 8.8 Рис.8.9 Рис.8.10