8

Лекция 8 Расчет на прочность при изгибе Поверочный расчет

Заданы нагрузки, материал балки, форма и размеры сечения, предельное напряжение. Требуется определить коэффициент запаса.

Для пластичных материалов определяется коэффициент запаса по текучести .

Для хрупких материалов определяется коэффициент запаса по разрушению .

В этих формулах s_т - предел текучести, s_в - предел прочности, эти величины заданы, s_max - максимальное напряжение, определяемое в результате решения задачи.

Проектировочный расчет

Размеры сечения и допускаемые нагрузки определяются из условия прочности

s_max £ [s],

где s_max - максимальное напряжение, которое находим из решения задачи в общем виде через искомый параметр, например, через искомую нагрузку или через размер сечения,

[s] - допустимое напряжение, которое задано или определяется по формулам:

- для пластичных материалов;

- для хрупких материалов;

n_т, n_в - заданные коэффициенты запаса по текучести и по разрушению соответственно

Пример (поверочный расчет)

Для балки, изображенной на рис. 8.1, определить коэффициент запаса по текучести n_т.

Дано: q, l, a, D, s_т.

а б

Рис. 8.1

Решение

Прежде всего, построим эпюры поперечных сил Q_y и изгибающих моментов M_x (рис. 8.2). При построении эпюры Q_y, если идти слева направо, ордината откладывается в сторону вектора нагрузки. Поэтому эпюра Q_y начинается с положительной ординаты, равной приложенной на левом конце балки силе . Затем поперечная сила равномерно уменьшается и в заделке достигает значения

-3/4 ql. Эпюра Q_y на участке с распределенной нагрузкой это наклонная линия, которая пересекает ось z там, где будет экстремум на эпюре М_x . В нашем примере ось пересекается при z^*=1/4 .

Строим эпюру М_x, идя от свободного левого конца балки. Заметим, что изгибающий момент на свободном конце всегда равен нулю за исключением случая, когда на этом конце приложена нагрузка в виде момента. На участке с распределенной нагрузкой эпюра изгибающих моментов представляет собой параболу, направленную выпуклостью навстречу нагрузке q. Ординату в заделке подсчитаем по формуле . Это момент, создаваемый нагрузками относительно заделки. Изгибающий момент в заделке должен этот момент уравновесить, т.е. он ему равен. Записывая выражение для M_x, с плюсом брали члены, дающие сжатые слои сверху. Как было доказано ранее, , т.е. эпюра Q_y - это производная от эпюры M_x. Это означает, что эпюра М_x это интнграл (т.е. сумма) от эпюры Q_y. Ординаты на эпюре М_x можно определять через площади эпюры Q_y. Каждая следующая ордината на эпюре М_x равна тому, что было в начале участка, плюс (или минус – в зависимости от знака) площадь эпюры Q_y над участком. В нашем примере экстремальное значение изгибающего момента M_x* равно площади эпюры Q_y на участке от начала эпюры Q_y до сечения, где эта эпюра пересекает ось z. Эта площадь равна . Изображая форму изогнутой оси балки, следует смотреть на эпюру изгибающих моментов: знак кривизны соответствует знаку момента. При положительной кривизне изогнутая ось изображается кривой с выпуклостью вниз, при отрицательной – с выпуклостью вверх. В сечениях, где изгибающий момент меняет знак, на изогнутой оси точка перегиба (т.е. изменяется знак кривизны оси). В заделку изогнутая ось входит по касательной.

Расчет на прочность

Коэффициент запаса по текучести равен Предел текучести задан.

Максимальное напряжение определим по формуле .

Максимальный изгибающий момент, согласно эпюре М_x, равен .

Момент сопротивления изгибу W_x определяется по формуле .

Осевой момент инерции площади сечения J_x это интеграл, т. е. сумма, поэтому для заданного сечения (рис.8.1б) J_x можно найти как разницу между осевым моментом инерции наружного контура сечения (квадрата) и моментом инерции внутреннего контура сечения (круга)

Момент сопротивления изгибу W_x - это не интеграл, а частное от деления осевого момента инерции на y_max (т.е. W_x нельзя определять как разницу W_x квадрата минус W_x круга). Y_max это расстоянин от нейтральной линии, проходящей через центр тяждести сечения, до точки, наиболее удаленной от этой линии. В нашем случае y_max =