- •Міністерство освіти та науки України одеський національний університет ім.І.І.Мечнікова
- •Методичні вказівки з курсу “Вища математика. Ч.I: Лінійна алгебра і аналітична геометрія” для студентів 1-го курсу епф
- •Одеса 2006
- •Лінійна алгебра
- •Лінійна алгебра
- •1.Метод Гаусса розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь
- •2. Матриці і дії над ними.
- •3. Визначники та їх основні властивості.
- •Правило Крамера для розв`язування систем лінійних рівнянь.
- •Обернена матриця. Матричний спосіб розв`язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
- •Ранг матриці. Теорема Кронекера-Капеллі.
- •7. Лінійні векторні простори.
- •8.Лінійна залежність векторів.
- •Скалярний добуток двох векторів.
- •Векторний добуток двох векторів в .
- •Змішаний добуток трьох векторів в
- •Аналітична геометрія
- •12. Рівняння прямої на площині.
- •13. Кут між двома прямими на площині. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих.
- •Площина в просторі .
- •15. Кут між двома площинами. Умови паралельності і перпендикулярності площин в
- •16. Пряма лінія у тривимірному просторі.
- •17. Кут між двома прямими, а також прямою і площиною в . Паралельність і перпендикулярність прямих і площин.
- •Криві другого порядку.
- •19. Гіпербола
- •20. Парабола
- •Література
Скалярний добуток двох векторів.
Для наочних просторів скалярним добутком двох векторів і називається число, що дорівнює добутку їхніх довжин на косинус кута між ними:
.
У вимірному просторі скалярний добуток двох векторів і визначається такою рівністю:
. (9.1)
Властивості скалярного добутку:
1.
2.
3. ;
4. Якщо то
За допомогою скалярного добутку довжину вектора можна визначити як
Вектор, що має одиничну довжину, називається ортом. Для кожного ненульового вектора існує вектор такого ж напрямку, довжина якого дорівнює одиниці:
.
Два вектори називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю. На площині і у 3-вимірному просторі
,
тому для ортогональних векторів косинус кута між ними дорівнює нулю і поняття ортогональності і перпендикулярності збігаються.
Якщо в лінійному просторі визначено скалярний добуток двох векторів за правилом (9.1) із властивостями 1-4, то лінійний простір називається евклідовим.
В евклідовому просторі виконується так звана нерівність Буняковського-Коші-Шварца:
.
Векторний добуток двох векторів в .
Векторним добутком двох векторів називається вектор такий, що
а)
в) площа паралелограма, побудованого на векторах ;
с) якщо то вектори утворюють праву трійку.
Рис.2
Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого здійснюється проти обертання годинникової стрілки.
Згідно з умовою в), вектор тоді і тільки тоді, коли вектори колінеарні.
Властивості векторного добутку:
1.
2. ;
3. ;
В координатній формі векторний добуток обчислюється за формулою:
, де
Приклад 1. Обчислити площу трикутника якщо
Розв`язання.
Рис.3
За означенням векторного добутку двох векторів площа паралелограма, побудованого на двох неколінеарних векторах, дорівнює модулю векторного добутку цих векторів. Тому площу трикутника АВС можна обчислити за формулою:
.
Залишилося знайти координати векторів:
.
Отже маємо:
;
;
Змішаний добуток трьох векторів в
Змішаним добутком векторів називається число
.
Властивості змішаного добутку:
1. ;2.
2. ;
3. ;
4. геометрично , де об`єм паралелепіпеда, побудованого на векторах ; знак “+” відповідає правій трійці векторів, а “-“ – лівій.
В координатній формі змішаний добуток обчислюється за формулою:
, де
Згідно з умовою 4, змішаний добуток векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектори компланарні.
Зауваження. Операції векторного та змішаного добутку визначені тільки в 3-вимірному просторі .
Приклад 1. Визначити, чи будуть лінійно залежними вектори
.
Розв`язання. Обчислимо змішаний добуток векторів
тобто дані вектори лінійно залежні.