55

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

К численному решению уравнений или систем уравнений обращаются если аналитическое решение невозможно или чрезвычайно громоздко. Рассмотрим условия сходимости вычислительного процесса и несколько способов численного решения уравнений.

Пусть задана непрерывная функция и требуется найти все корни уравнения

. [22]

Эта задача распадается на несколько задач: надо

1. исследовать количество и расположение корней;

2. найти приближенные значения корней;

3. вычислить корни с требуемой точностью.

Первую и вторую задачи можно решать графически – построить график функции и найти точки его пересечения с осью абсцисс. Это очень наглядно. Когда ищутся только действительные корни, то можно составить таблицу значений . Если в двух соседних узлах таблицы функция имеет разные знаки, то между этими узлами лежит нечетное число корней уравнения [21]. Если эти узлы близки, то, скорее всего, корень между ними только один. Четное число корней таким образом выявить не удастся.

Если в уравнениях присутствуют углы и тригонометрические функции, то при вычислениях рекомендовано использовать естественные единицы измерения углов – радианы.

Дихотомия (метод деления пополам)

Пусть найдены такие точкиt₀иt₁, что, то есть на отрезке [t₀,t₁] лежит не менее одного корня уравнения.

Найдем середину отрезка и вычислим. Из двух половин отрезка выберем ту, для которой. Эту половину делим пополам и выбираем ту половину, на концах которой функция имеет разные знаки.

Если требуется найти корень с точностью, то продолжаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2. Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью.

Дихотомия проста и очень надежна: к простому корню она сходится для любых непрерывных функций , в том числе недифференцируемых. Дихотомия устойчива к ошибкам округления, скорость сходимости невелика: за одну итерацию точность увеличивается примерно вдвое, то есть уточнение трех цифр требует 10 итераций (2¹⁰~1000). Но точность результата гарантируется.

Недостатки метода:

Для начала вычислений надо найти отрезок, на котором функция меняет знак;

Если в этом отрезке несколько корней, то неизвестно, к какому из них сойдется процесс;

На системы уравнений дихотомия не обобщается.

Пример. Решить уравнениес точностью до= 0.1.

Построим график функции :

Из графика следует, что уравнение имеет единственный корень вблизи t=2. Поэтому выберем отрезок [1.5,2], на концах которого функция меняет знак.

f(t₀)<0,f(t₁)>0,t₀=1.5,t₁=2,t₂=(1.5+2)/2=1.75

f(t₂)=f(1.75)=-0.308<0;

f(t₂)<0,f(t₁)>0,t₂=1.75,t₁=2, длина отрезка 0.25,t₃=(1.75+2)/2=1.88

f(t₃)=f(1.88)=0.019>0;

f(t₃)>0,f(t₂)<0,t₃=1.88,t₂=1.75, длина отрезка 0.13,t₄=(1.88+1.75)/2=1.82

0.13<2= 0.2, поэтому с требуемой точностью корень уравнения 1.82.

(С точностью до 4-х знаков после точки корень равен 1.8731).

Метод простых итераций

Название метода происходит от латинского слова iteratio, что означает «повторение» (iter - шаг). Заменим уравнение [22] эквивалентным ему уравнением(канонический вид).

Построим графики обеих частей уравнения. Для левой части это, очевидно, прямаяx = t, являющаяся биссектрисой первого координатного угла. Для правой части график есть некоторая линия с уравнением . Решением уравнения является абсцисса точки пересечения этих графиков. Точек пересечения может быть не одна, а несколько.

Допустим, что каким-либо способом найдено начальное приближение t₀. В простейшем методе итераций все дальнейшие приближения строятся по формуле

[23]

Этот процесс называется простой одношаговой итерацией.

Предположим, что значение является точным решением уравнения [22], тогда погрешностидолжны быть малыми и по мере итераций уменьшаться. Найдем зависимость междуи. Очевидно

,

, подставим это в [23], получим

учитывая и пренебрегая высшими производными,

.

Итак, если , тои приближениебудет отстоять от точного решениядальше, чем. В этом случае нет сходимости последовательностик.

если , тои можно ожидать, что последовательность, есливыбрано достаточно близким к, будет сходиться к. Причем, приибудут иметь одинаковые знаки и сходимостькбудет монотонной; приибудут иметь разные знаки исходится к, колеблясь около.

случай требует специального рассмотрения.

- точное решение;

- приближенное решение.

Пример. В небесной механике часто приходится решать уравнение Кеплера вида

, где t – угол.

,

,

- итерационный процесс сходится,

в качестве приближенного решения возьмем ,

Итак, решение =1.1104.

Система 2-х уравнений с двумя неизвестными

предположим, что эту систему можно представить в виде

процесс итераций сходится только в случае, если

Приближенное решение можно найти графически как координаты точки пересечения графиков функцийи. Тогда

и т.д.

Пример. Дана система уравнений

Найти решение.

; ;

; .

Проверим

и

, решение должно сходиться, за исключением точек, где и, это сомнительные точки.

В качестве нулевого приближения выберем решение