Глава 2. Система сходящихся сил

2.1.

Проекция силы на ось и на плоскость

Скалярная величина, равная взятой с соответствующим знаком длине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца силы называется проекцией силы на ось.

Знак плюс проекция имеет, если перемещение от начала к концу происходит в положительном направлении оси, и знак минус если в отрицательном.

Таким образом, проекции данной силы на любые параллельные и одинаково направленные оси равны друг другу.

Проекция силы на ось Ох обозначается как (рис. 12 ).

Следуя рисунку 12 и определению получаем

To есть проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси.

Если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на эту ось равна нулю.

Проекцией силы на плоскость Оху называется вектор , заключенный между проекциями начала и конца силы F на эту плоскость (рис. 13 ).

Проекция силы на плоскость есть величина векторная и характеризуется как модулем, так и направлением в плоскости Оху. Модуль проекции силы на плоскость Оху выражается как

Тогда проекции на оси Ох и Оу:

2.2.

Аналитически способ задания и сложения сил

Выберем систему координат Oxyz. Вектор можно построить, зная модуль и углы между вектором и соответствующими осями (рис. 14 ).

Задание этих величин и определяет силу . Точка приложения силы должна быть задана дополнительно координатами х, у, z. Кроме того, силу можно задавать проекциями на оси . Тогда

Эти формулы позволяют, зная проекции силы на оси координат найти ее модуль и углы с осями, т.е. определить силу. Зная проекции, можно построить вектор геометрически.

Для плоскости формулы (2.2.1) и (2.2.2) запишутся

Построение в плоскости производится по 4-й аксиоме статики.

Рассмотрим теперь аналитический способ сложения сил. Зависимость между векторами и их проекциями дает следующая теорема:

Проекция вектора суммы на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось (рис. 15 ).

Данные соотношения позволяют складывать силы аналитически. Можно заметить идентичность формул (2.2.1)-(2.2.4) и (2.2.9)-(2.2.11).

2.3.

Геометрический способ сложения сил

Решение задач в статике часто связано с операцией сложения из векторной алгебры. Вспомним старые приемы и введем некоторые определения.

Величина, равная геометрической сумме сил какой-либо системы, называется главным вектором системы.

Геометрическую сумму сил не следует смешивать с равнодействующей. Для многих систем сил равнодействующей не существует, а главный вектор можно вычислить для любой.

Рассмотрим сложение двух сил на плоскости. Геометрическая сумма сил находится по правилу параллелограмма построением силового треугольника (рис. 16 ).

Модуль R равнодействующей определяем как сторону треугольника :

углы находим по теореме синусов, учитывая, что , получаем

В продолжение геометрического способа сложения сил, напомним о сложении трех сил не лежащих в оной плоскости.

Геометрическая сумма трех сил , не лежащих в одной плоскости изображается диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах (рис. 17 ).

Здесь необходимо подчеркнуть полную аналогию рисунков 14 и 17, где в роли выступает , а в роли соответственно . Coответственно мы можем использовать формулы (2.2.1-2.2.4).

Рассматривая плоскую систему сходящихся сил необходимо рассмотреть и положение такой системы сил.

Геометрическая сумма (главный вектор) любой системы сил определяется построением силового многоугольника или последовательным сложением сил системы. Пусть дана система сходящихся сил (рис. 18 ).

Для построения силового многоугольника выбираем произвольную точку О и переносим в нее начало , затем переносим в конец вектора начало и т.д. после переноса вектора конец вектора будет в некоторой точке N. Соединяем точки О и N вектором . Этот замыкающий вектор и будет главным вектором системы.

При последовательном сложении сил (рис. 18, а) все они переносятся вдоль линий действия в точку пересечения А. Последовательно, по правилу параллелограмма, складываются силы получается вектор :

который представляет собой равнодействующую, равную главному вектору всех сил и приложенную в точке их пересечения.

2.4.

Теорема о трех силах

Линии действия трех непараллельных взаимно уравновешивающихся сил, лежащих в одной плоскости пересекаются в одной точке.

Пусть даны силы . Так как они лежат в одной плоскости и не параллельны то линии их действия пересекутся в некоторой точке О. Приложим силы в этой точке и заменим их равнодействующей .Тогда есть две силы и приложенные в точке О (рис. 19 ).

Если тело находится в равновесии то согласно 1-й теореме статики и должны быть наплавлены вдоль одной прямой, т.е. . Следовательно, проходит через точку А. Что и требовалось доказать.

Теорема является необходимым, но недостаточным доказательством условия равновесия свободного твердого тела под действием трех сил.

2.5.

Равнодействующая сходящихся сил и условие их равновесия

Как было определено, сходящимися силами называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке. Учитывая теорему о трех силах и аксиому параллелограмма сил, получаем, что система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную геометрической сумме (главному вектору) этих сил и приложенную в точке их пересечения. Построение или определение равнодействующей было осуществлено в параграфе 2 этой главы (см. формулы 2.3.3, 2.3.4).

Определив равнодействующую, мы можем перейти к определению условий равновесия свободного твердого тела под действием системы сходящихся сил.

Если на тело действует уравновешенная система сил, то тело находится в покое или совершает движение по инерции.

Для равновесия приложенной к твердому телу системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил была равна нулю. Условия, которым должны удовлетворять эти силы, можно выразить в геометрической или аналитической форме.

1) Геометрическое условие равновесия.

Так как равнодействующая сходящихся сил определяется как замыкающий вектор силового многоугольника, то может обратиться в нуль тогда, когда многоугольник замкнется. То есть, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнут.

2) Аналитические условия равновесия. Аналитически равнодействующая определяется как

Так как под корнем стоит сумма положительных чисел, то R будет равна нулю тогда и только тогда, когда одновременно .

То есть, одновременно будет выполняться равенства

Это условия равновесия свободного твердого тела под действием системы сходящихся сил.

Для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на координатные оси были равны нулю.

Для плоской системы сходящихся сил уравнения (2.5.3) редуцируются в следующие:

2.6.

Момент силы относительно центра

Наряду с поступательным движением твердое тело может совершать вращение вокруг центра (точки).

Вращение характеризуется моментом силы.

Пусть сила приложена в точке А. Она стремится повернуть тело вокруг неподвижного центра О (рис. 20 ). Перпендикуляр h опущенный из точки О на линию действия силы называется плечом силы относительно центра О.

Так как точку приложения силы можно перемещать вдоль линии действия силы, то вращение тела будет зависеть от:

1) модуля силы и плеча h.

2) положения плоскости ОАВ,

3) направления поворота в этой плоскости.

Пусть вся система сил лежит в одной плоскости, тогда направление можно охарактеризовать знаком. Дадим следующее определение момента силы:

Моментом силы относительно центра О называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на длину плеча.

Обозначается момент силы как :

Знак плюс выбираем если сила старается повернуть тело против ходя часовой стрелки, в противном случае берем знак минус.

Единицы измерения: (ньютон на метр), (килограмм на метр).

Свойства момента силы:

1) момент силы не изменится при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия;

2) момент силы равен нулю, тогда и только тогда, когда сила равна нулю, или ее линия действия проходит через центр О. (h = 0).

3) момент силы численно равен удвоенной площади треугольника ОАВ.