Пример 2. Система сходящихся сил.

Для рамы (рис. 15) определить реакции, возникающие при действии горизонтальной силы P, приложенной в точке B. Весом рамы пренебречь.

1. Выделяем раму и рассматриваем ее равновесие. Связями будут неподвижный шарнир A и подвижный шарнир D.

2 . Активной силой является вектор P. Реакция шарнира A может занимать в плоскости рисунка любое положение, известно лишь, что она приложена в точке A. Для определения реакции подвижного шарнира используем правила построения реакций связей. У подвижного шарнира основание установлено на катки, обычно это металлические или деревянные цилиндры. Опора применяется для исключения температурных напряжений. Шарнир D дает раме возможность не только поворачиваться вокруг оси шарнира, но и позволяет концу D рамы перемещаться по горизонтали. Поэтому при температурном расширении рамы ее конец D просто откатится по горизонтали и температурные напряжения не возникнут. Кроме того, подвижный шарнир позволяет концу D отрываться от плоскости, на которой лежат катки. Следовательно, подвижный шарнир не дает перемещаться ему только вовнутрь плоскости по нормали и поэтому, реакция подвижного шарнира направлена по нормали в сторону от плоскости, на которой лежат катки. Рама находится в равновесии под действием трех сил, причем линии действия двух из них P и N_D пересекаются в точке C. Это позволяет определить направление реакции шарнира A. По теореме о трех силах, силы, приложенные к раме, лежат в одной плоскости и линии их действия пересекаются в одной точке C. То есть линия действия вектора R_A должна проходить через эту точку.

3. Мысленно отбросим оба шарнира, заменив их реакциями R_A и N_D.

4. Видим, что на расчетной схеме - плоская система сходящихся сил. В задаче есть два неизвестных и она является статически определенной.

5. Для решения задачи используем условия равновесия в геометрической форме, построив замкнутый силовой треугольник (рис. 15).

6. Из силового треугольника мы видим, что направление реакции ветора R_A в действительности противоположно тому, что принято на рис. 15. Записывая тригонометрические соотношения для силового треугольника, получаем

Из геометрического треугольника ADC находим

По теореме Пифагора

Подставляя тригонометрические функции угла в выражения для сил, получаем ответ задачи:

Решим задачу аналитически. На третьем этапе вводим систему координат AXY, ось AX направляем по горизонтали вправо, ось AY - по вертикали вверх. На пятом этапе получаем из (4) уравнения равновесия:

На шестом этапе, решая эту систему уравнений, имеем

Подставляя в эти выражения тригонометрические функции угла α, находим

Знак "-" у R_A показывает, что направление этой реакции противоположно тому, что принято на рис. 15.

Система сходящихся сил. Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке. Равнодействующая сходящихся сил равна геометрической сумме этих сил и приложена в точке их пересечения  . Равнодействующая может быть найдена геометрич. способом – построением силового (векторного) многоугольника или аналитич. способом, проектируя силы на оси координат. Проекции силы на оси координат (для плоской сист.): F_x=Fcos;  F_y=Fcos=Fsin; проекция >0, если направление составляющей силы совпадает с направл. оси. Модуль силы: ; направляющие косинусы:  разложение силы на составляющие: , где  – орт (единичный вектор) соответствующей оси.

Для пространственной системы: ,

F _x=Fcos; F_y=Fcos; F_z=Fcos;  ;  .

Проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси равна алгебраическим суммам проекций этих сил на соответствующие оси: R_x=F_ix; R_y=F_iy; R_z=F_iz; .

Условия равновесия сист. сходящихся сил: геометрическое:

аналитические: F_ix=0;  F_iy=0;  F_iz=0. Теорема о трех непараллельных силах: Если под действием трех сил тело находится в равновесии и линии действия двух сил пересекаются, то все силы лежат в одной плоскости и их линии действия пересекаются в одной точке.

Т еория пар сил. Сложение двух параллельных сил: равнодейст-ющая двух парал-ых сил F₁ и F₂ одного направления имеет такое же направление, ее модуль равен сумме модулей слагаемых сил, а точка приложения делит отрезок между точками приложения сил на части обратно пропорциональные модулям сил: R=F₁ + F₂;  АС/ВС=F₂/F₁. Равнодействующая двух противоположно направленных паралл-ных сил имеет направление силы большей по модулю и модуль, равный разности модулей сил.

Система двух параллельных сил, равных по модулю и направленных в разные стороны, назыв. парой сил. Кратчайшее расстояние между линиями действия этих сил назыв. плечом пары "h". Действия пары сил характеризуется ее моментом. Момент пары сил  M = Fh  – произведение модуля одной из сил пары на ее плечо.

Момент пары сил  – вектор, направленный перпендикулярно плоскости сил, так, что, если смотреть ему навстречу, то видим вращение пары против хода час.стр. M>0, если против час.стр., M<0 – по час.стр (на рис М>0).