Пример 1. Система сходящихся сил.

К вертикальной идеально гладкой стене AB подвешен на тросе однородный шар O . Трос составляет со стеной угол α, вес шара P. Определить натяжение троса T и давление Q шара на стену.

Решаем задачу в последовательности, которую можно использовать в любой задаче статики.

1 . Рассматриваем равновесие шара, принимая его за тело. Остальные два тела - трос и стена будут связями.

2. Изображаем активные силы и реакции связей. Активной силой является вес шара P, он приложен в геометрическом центре шара точке O. В точке контакта шара со стеной возникает реакция стены - сила N. Она приложена к шару и направлена по нормали к стене в сторону от стены. Для определения реакции троса мы используем правила построения реакций связей. Учтем, что трос может гнуться в любую сторону, а под действием сжимающих сил он просто складывается. То есть трос не дает перемещаться телу вдоль самого себя и только тогда, когда он растягивается. Следовательно, усилие в тросе направлено по тросу в сторону от тела, которое он удерживает (рис. 14, a)

3. Используем аксиому связей. Трос и стену мысленно отбрасываем и получаем расчетную схему задачи (рис. 14, b), на которой шар по-прежнему остается в равновесии. Силы T и N заменяют на расчетной схеме трос и стену, которые мы отбросили. На рис. 14, c показаны отброшенные тела и силы, с которыми шар действует на трос и стену - T' и Q. По аксиоме действия и противодействия они приложены к тросу и к стене, направлены противоположно T и N, причем T' = T, а Q = N. То есть для решения задачи нам нужно найти N.

В решении мы намеренно показали подробный силовой анализ задачи, который для студентов наиболее труден. Обычно 3-й этап плана делают мысленно, не рисуя расчетную схему, довольствуясь исходным рисунком, подобным рис. 14, a.

4. Анализируем систему сил, полученную на расчетной схеме. Видим, что все силы лежат в одной плоскости и линии их действия пересекаются в одной точке. На шар действует плоская система сходящихся сил. Для этой системы сил по условиям равновесия (4) можно составить два уравнения равновесия, в задаче две неизвестные силы. Задача статически определенная (число неизвестных в ней не превышает числа уравнений равновесия) и мы можем решить ее, используя только методы теоретической механики.

5. Используем условия равновесия для полученной системы сил. К шару приложена плоская система сходящихся сил, и для решения задачи можно использовать условия равновесия в геометрической форме. Согласно условиям, треугольник сил, действующих на шар, должен быть замкнутым. Построение силового треугольника нужно начинать с активной силы на линии действия этой силы. Строим на ней в определенном масштабе вектор P. Из начала и конца вектора проводим, линии параллельные силам N и T, до их пересечения. На этих линиях расставляем стрелки векторов так, чтобы силовой треугольник был замкнутым (рис. 14, d).

6. Из силового треугольника определяем, что силы и действительно направлены как на расчетной схеме. Величины этих сил вычисляем, решив силовой треугольник. На рис. 14, b видим, что силовой треугольник прямоугольный, а угол между векторами P и T равен α. Записываем тригонометрические выражения для прямоугольного треугольника, откуда находим неизвестные в задаче:

Решим задачу, используя условия равновесия в аналитической форме. Для аналитического решения нужно на втором или третьем этапах ввести систему координат. В этой задаче удобно направить ось OY по вертикали, а ось OX - по горизонтали (рис. 14, a). На пятом этапе по условиям равновесия (4) составляем уравнения равновесия, проектируя известные и неизвестные силы на оси координат, приравнивая полученные суммы проекций нулю. В нашем случае, проектируя силы на оси системы координат OXY, получаем два уравнения равновесия:

Решая на шестом этапе полученную систему алгебраических уравнений, находим неизвестные в задаче: