1.3.1 Классический метод вычисления вероятностей

Из аксиоматического определения вероятности следует, что вероятность существует для любого события А  , но как ее вычислить, об этом ничего не говорится, хотя известно, что для каждого элементарного события _i существует вероятность р_i, такая, что сумма вероятностей всех элементарных событий пространства  равна единице, то есть

.

На использовании этого факта основан классическийметод вычисления вероятностей случайных событий, который в силу своей специфичности, дает способ нахождения вероятностей этих событий непосредственно из аксиом.

Пусть дано фиксированное вероятностное пространство (,ℱ,Р), в котором:

а) состоит изконечногочислаnэлементарных событий,

б) каждому элементарному событию _iпоставлена в соответствие вероятность

,.

Рассмотрим событие А , которое состоит изmэлементарных событий:, тогда из аксиомы 3 вероятностей, в силу несовместности элементарных событий, следует, что

.

Тем самым имеем формулу

, (2)

которую можно интерпретировать следующим образом: вероятность событию Апроизойти равна отношению числа элементарных событий, благоприятствующих появлению событиюА, к числу всех элементарных событий из.

В этом суть классического метода вычисления вероятностей событий.

Замечание. Приписав одинаковую вероятность каждому из элементарных событий пространства, мы, с одной стороны, имея вероятностное пространство и опираясь на аксиомы теории вероятностей, получили правило вычисления вероятностей любых случайных событий из пространствапо формуле (2), с другой стороны, это дает нам основание считать все элементарные событияравновозможнымии вычисление вероятностей любых случайных событий изсвести к «урновой» схеме независимо от аксиом.

Из формулы (2) следует, что вероятность события Азависит только от числа элементарных событий, из которых оно состоит и не зависит от их конкретного содержания. Таким образом, чтобы воспользоваться формулой (2), необходимо найти число точек пространстваи число точек, из которых состоит событиеА , но тогда это уже задача комбинаторного анализа.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 8. В урне из n шаров - k красных и (n - k) черных. Наудачу извлекаем без возвращения r шаров. Какова вероятность того, что в выборке из r шаров s шаров – красных?

Решение. Пусть событие {А}  {в выборке из r шаров s - красных}. Искомая вероятность находится по классической схеме, формула (2):

,

где - число возможных выборок объема r, которые различаются хотя бы одним номером шара, а m – число выборок объема r, в которых s шаров красных. Для , очевидно, число возможных вариантов выборки равно , а m, как следует из примера 7, равно . Таким образом, искомая вероятность равна

.

Пусть дан набор попарно несовместных событий A_s, , образующих полную группу, тогда

.

В этом случае говорят, что имеем распределение вероятностей событий A_s.

Распределения вероятностей является одним из фундаментальных понятий современной теории вероятностей и составляет основу аксиомами Колмагорова.

Определение. Распределение вероятностей

, , (3)

определяется гипергеометрическое распределение.

Боровков А.А. в своей книге [2] на примере формулы (3) поясняет природу задач теории вероятностей и математической статистики следующим образом: зная состав генеральной совокупности, мы с помощью гипергеометрического распределения можем выяснить, каким может быть состав выборки – это типичная задача теории вероятностей (прямая задача). В естественных науках решают обратную задачу: по составу выборок, определяют природу генеральных совокупностей – это обратная задача, и она, образно говоря, составляет содержание математической статистики.

Обобщением биномиальных коэффициентов (сочетаний) являются полиномиальныекоэффициенты, которые своим названием обязаны разложению полинома вида

,

где

, (4)

по степеням слагаемых.

Полиномиальные коэффициенты(4) часто применяются при решении комбинаторных задач.

Теорема. Пусть имеется k различных ящиков, по которым раскладываются пронумерованные шары. Тогда число размещений шаров по ящикам так, чтобы в ящике с номером r находилось r_i шаров, i = 1,2,…k, , определяется полиномиальными коэффициентами (4).

Доказательство. Поскольку порядок расположения ящиков важен, а шаров в ящиках - не важен, то для подсчета размещений шаров в любом ящике можно воспользоваться сочетаниями.

В первом ящике r₁ шаров из n можно выбрать способами, во втором ящике r₂ шаров, из оставшихся (n - r₁) можно выбрать способами и так далее, в (k – 1) ящик r_k-1 шаров выбираем способами; в ящик k – оставшиеся шаров попадают автоматически, одним способом.

Таким образом, всего размещений будет

._▼