Кроме того, если выполнено условие

4. А \ В  ,

то имеем поле событий.

Очевидно обобщение на любое конечное число событий .

Событие, которое никогда не происходит (то есть не содержит ни одной точки), называется невозможным, обозначается символом  и

 (  )  (  ).

Событие А=всегда происходит и называетсядостоверным, при этом полагаем=.

События А₁, А₂   несовместны, если А₁  А₂ =  (то есть события А₁ и А₂ не имеют общих точек).

События А₁, А₂, ..., А_n образуют полную группу, если   , а если А_i, i= 1, 2, …, n, попарно несовместные, то есть ij , j = 1, 2, …, n, А_i  А_j = , тогда = .

Если каждое появление события А влечет за собой появление события В, то говорят, что А есть часть В, то есть А  В.

Многие задачи теории вероятностей содержат бесконечное число исходов (например, точки на отрезке прямой, поверхности и др.), и мы можем столкнуться с трудностями теоретического характера, если любое подмножество отрезка или поверхности будем считать событием. Чтобы их избежать, мы вводим специальный класс ℱ подмножеств, состоящий из несчетных множеств, где любое его подмножество есть событие. Формально это выглядит следующим образом.

Пусть пространство  - произвольное множество (в том числе, несчетное), а ℱ класс подмножеств из множества .

ℱ называется - алгеброй, если

1.   ℱ,

2.  А_i  ℱ, i  N  ,

3. А  ℱ  ℱ.

Таким образом, алгебра событий замкнута относительно конечного числа теоретико-множественных операций (объединения, пересечения, отрицания), а - алгебра замкнута относительно бесконечного числа этих операций.

Замечание. По условию, класс подмножеств ℱ содержится в пространстве  и одновременно, сам содержит это пространство. Возможность такой формализации становится понятной, если считать ℱ оператором «наведения порядка» в . Тогда, если, например,  интерпретировать как единичный объем жидкости, а ℱ - как губку, то, если вся жидкость находится в губке всюду плотно, получается, что с одной стороны, губка находится в жидкости, а с другой стороны, вся жидкость находится в губке.

Мерой или количественной оценкой случайных событий из  служит вероятность р – число, удовлетворяющее следующим аксиомам.

Аксиома 1. Любому событию А  , удовлетворяющему условиям 1) – 3), поставлено в соответствие неотрицательное число p = Р  А , называемое его вероятностью.

Аксиома 2. Р  = 1.

Аксиома 3. Если события А₁, А₂, ..., А_n, ... попарно несовместны, то

.

Пространство , с заданной на нем алгеброй ( - алгеброй) событий и определенной для каждого события вероятностью, которая удовлетворяет аксиомам 1-3, является центральным понятием, определяющим аксиоматический подход к построению теории вероятностей, введенный А.Н. Колмогоровым в 30-х годах прошлого века 2.

Определение. Тройку (ℱ,Р) будем называть вероятностным пространством.

Замечание. В данном курсе теории вероятностей мы обсуждаем только такие случаи, для которых любое подмножество  есть событие, а потому введение - алгебры ℱ излишне. Однако в целях конструктивности изложения мы будем писать (ℱ,Р), подразумевая под вероятностным пространством ( Р).