1.3.3 Статистическое определение вероятности

Классический и геометрический методы вычисления вероятностей событий представляют собой теоретическую схему, которая основывается на аксиомах теории вероятностей, и, тем самым, не зависит от реального объекта исследования.

Для применения этих методов необходимо владеть всей информацией о возможных исходах эксперимента (пространство ). На практике мы далеко не всегда можем описать пространство , даже в случае равновозможности элементарных событий.

Например, вычислить вероятность всхожести семян практически невозможно, если использовать классический подход, поскольку трудно пересчитать количество зерен для посадки, да и размеры зерен влияют на их всхожесть. Можно говорить лишь о приближенных значениях вероятности всхода семян, определяя приближенно их среднее количество на единичном участке поля.

Рассмотрим вновь пример с подбрасыванием монеты. Пусть у нас есть основание считать монету несимметричной. Тогда, никакие соображения относительно вероятности выпадения герба не будут иметь решающего значения, кроме как проведение испытаний. Естественно возникает вопрос: чему равна вероятность выпадения герба для этой монеты? Пусть при n= 1000 подбрасываний, герб выпал 450 раз, тогда доля выпадений герба составила 0,45. Отклонение от 0,5 всего 5%. Много это или мало? Можно ли считать монету симметричной?

Ответ на эти вопросы может дать статистический метод вычисления вероятностей событий.

Пусть проведено nиспытаний, в которых событиеАпоявилосьmраз.

Определение. Доля числа случаев, в которых событиеАпоявилось, называетсячастотойпоявления событияАи вычисляется по формуле

. (5)

Говоря о частоте, прежде всего, считают, что результат любого испытания заранее не предсказуем; учитываются только те результаты, которые мы ожидали получить. Если появился новый результат, то мы должны предполагать, что он возник из равноценных начальных условий и одних и тех же начальных знаний.

Испытания должны быть независимыми, в том смысле, что, во-первых, каждое повторное испытание проводится при одном и том же комплексе начальных условий (строго говоря, испытания не могут быть повторены в точности, поэтому мы должны так ставить эксперименты, чтобы они казались нам одинаковыми), во-вторых, результатом эксперимента являются два исхода: событие А появилось и событие А не появилось.

Частота должна быть устойчива, то есть, при достаточно большом числе испытаний, значения частоты подвержены малым колебаниям, которые тем меньше, чем больше число испытаний.

Определение. Число р, к которому сходится частота, при неограниченном увеличении числа испытаний, называется статистической вероятностью, то есть

,

где р = Р{А} – вероятность события А.

Данное определение требует комментариев. Обычно, еще до проведения испытаний, в зависимости от глубины наших знаний об объекте, мы ожидаем получить конкретный результат. Поскольку число испытаний всегда конечно, то за вероятность события А мы принимаем либо значение частоты, либо число близкое к нему (в частности, то которое мы ожидали получить). Таким образом, значение вероятности события А, полученное статистическим методом, зависит от двух факторов: частоты и субъективных знаний об объекте исследования.

Например, при достаточно большом числе испытаний с подбрасыванием монеты, незначительными отклонениями значений частоты от 0,5 можно пренебречь, если нет оснований, считать монету несимметричной, либо это отклонение не может существенно повлиять на конечный результат.

Недостаток статистического определения вероятности в том, что алгоритм ее вычисления не дает ответа на основной вопрос: «Является ли принимаемое нами значение вероятности события А ее истинным значением?». Поэтому возникает ощущение того, что вероятность не является объективной характеристикой случайного события.

Тем не менее, статистический метод является наиболее общим и универсальным подходом к вычислению вероятностей случайных событий. Например, для подтверждения симметричности монеты, Д' Бюффон подбросил ее 4040 раз (2048 раз выпал герб), Пирсон провел 24000 испытаний (12012 раз выпал герб).