1.3.4 Условная вероятность

Пусть имеем вероятностное пространство – (ℱ,Р) и события А, В  ,

Произвольны, причем рв.

Определение. Условной вероятностью называется число, определяемое формулой:

, . (6)

Следует читать: 

Формула (6) считается определением, ниоткуда не выводится и является отражением здравого смысла. Поясним это на примере геометрического изображения событий (рис. 3).

Рис. 3

Пусть пространство  состоит из n ( m+k) точек, равноправных между собой. Событие А насчитывает m точек, событие В - k точек и событие А  В – r точек. По определению, событие происходит, если в результате эксперимента реализовалась какая - либо из точек, составляющих это событие. Для условной вероятности (6), фраза: «Событие А произойдет при условии, что В произошло»,- означает, что должна реализоваться одна из точек события А  В, где событие В играет роль вероятностного пространства. Следовательно, – есть оценка доли участия события А в реализации события В, то есть

.

С другой стороны, если рассматривать все пространство , то

, .

По формуле (6) получаем

.

Теорема умножения.ПустьА,в,тогда

Р А  В} = P {B} Р А / В} = P {А} Р В / А}. (7)

Доказательство. ЕслиРB, то (7) сразу следует из (6). Если жеРB=0, тоРАВ} = 0 и, следовательно, (7) тривиально._▼

Определение. События А, В   независимы, если

Р А / В} = P {А}. (8)

В самом деле, для независимых событий, по определению, имеем

Р А  В}= P {А} P {B}.

Делая в (7) замену по формуле (8), получаем эквивалентность определений независимости событий.

Определение. События независимы в совокупности, если

.

Замечание. Попарной независимости событий (см. аксиому 3 вероятности) недостаточно для независимости их в совокупности (пример Бернштейна [2]).

1.4 Формула полной вероятности и формула Байеса (Bayes) Формула полной вероятности

Пусть (ℱ,Р) произвольное вероятностное пространство, в котором события А, В₁, В₂, ..., В_n  , удовлетворяют условиям:

1. события В_k, k = 1, 2, …, n, попарно несовместны, то есть

В_i B_j = ,  ij, i, j = 1, 2, …, n;

2. событие А происходит с одним, и только одним, из событий В_k, то есть ;

тогда имеет место формула полной вероятности

. (9)

Доказательство. Имеем , так как события , …,попарно несовместны, то по аксиоме 3:

.

Применяя теорему умножения получим

._▼

Замечание. События В₁, В₂, ..., В_n называют априорными гипотезами (apriory), и обычно, в литературе, на них накладывают еще дополнительное условие - они образуют полную группу событий [4]. Это условие не является обязательным, хотя и методически оправдано, в том смысле, что при решении задач, в целях проверки правильности выбора гипотез, должно выполняться

.

На самом деле для гипотез В_k выполняется неравенство .

Если заранее о вероятностях гипотез В_k,, ничего неизвестно, то каждой из n гипотез В_k приписывается одинаковая вероятность n^-1.

Вышесказанное в замечании проиллюстрируем рисунком.

Пусть событие А область, представляющая собой круг малого диаметра (рис. 4) пространства .

Рис. 4

Под гипотезами В_k, k =1,2,3,4, можно считать области

а) из которых состоит событие А (как на рис. 4),

тогда

,

б) являющиеся секторами большого круга, граница которого помечена пунктиром, тогда

,

в) являющиеся треугольниками, из которых состоит пространство , тогда

.

В последнем случае несовместные события В_к образуют полную группу.

Пример. Применяя формулу полной вероятности, вычислить вероятность того, что при подбрасывании симметричного кубика выпадет четная грань.

Решение 1. Вероятностное пространство (ℱ,Р)дискретное,;ℱ- множество всех подмножеств пространства,,i= 1, 2, …, 6.

Пусть А = {₂, ₄, ₆  - выпадение четной грани, А  ℱ. В_2i ( ℱ) – выпадение грани с цифрой 2i, i = 1, 2, 3,

Заметим, что здесь  1. Далее, P   _2i= 1, i = 1, 2, 3. Применяя (9), получаем

Р {A} = .

Решение 2. Положим В₂ = ₂ В₄ = ₄, В₆ = ₁, ₃, ₅, ₆.

Тогда Р{B₂} = , P{B₄}= , P{B₆} =, (здесь = 1),

Р {A / B₂ } = Р {A / B₄ }= 1, Р {A / B₆ }= .