2.2 Вычисление числовых характеристик стандартных распределений

Вычислим математическое ожидание и дисперсию основных распределений.

1. Биномиальное распределение.

Имеем ,,тогда

.

Для вычисления дисперсии воспользуемся следующим приемом [5]. Введем независимые случайные величины _i :

Тогда

,

.

В силу независимости случайных величин _i :

.

Итак, для биноминального распределения

М=np,D=npq.

2. Распределение Пуассона.

Имеем ,к=0, 1, 2, … (см стр. 50), тогда

.

Далее,

.

Здесь мы воспользовались рядом Маклорена . Таким образом, для распределения Пуассона

M = ,D = .

2. Равномерное распределение.

Используя формулы (28) и (31), имеем

.

.

Таким образом, для равномерного распределения

,.

2. Экспоненциальное распределение.

Учитывая, что ,x0, получаем

,.

2. Нормальное распределение.

,

так как .

.

Итак, для нормального распределения

,.

Вычислим эксцесс Е_k.

{учитывая вычисление дисперсии}.

Отсюда .

Итак, для нормального распределения

,,,.

Приложения нормального распределения

Пусть случайная величина имеет нормальное распределение. Вычислим вероятность события 

Из свойств функции распределения (стр.53) имеем:

.

Введя новую переменную , получаем

, где.

В частности

, (39)

(или , если).

Так как на вероятность события не влияют неслучайные преобразования над случайной величиной, то, полагая а = 0, получим:

. (40)

Пример (правило трех ). Пусть случайная величина, характеризующая ошибки измерений, подчинена нормальному закону. Найти вероятность того, что ошибки измеренияне превзойдут 3.

Решение. Ошибкой измерения называется отклонение реального результата от истиного. Ошибка измерения является случайной величиной, если она есть результат действия только случайных факторов (в отличие от систематических ошибок, которые изменяются по определенному закону или постоянны во всей серии испытаний).

Если ошибки измерения случайны, то они симметричны относительно нуля, поскольку в силу их случайности, разумно предположить, что ошибки, равные по величине и противоположные по знаку, должны встречаться одинаково часто.

С учетом сказанного, воспользуемся формулой (40). Имеем

Р= 1 - 2Ф(-3) = 1 - 0,00135 = 0,9973.

Таблица 3

n		2	3	4
P   n 	0,6826	0,9544	0,9973	0,9997
%	32%	5%	0,7%	0,07%

Важность «правила трех  » в том, что ошибки измерения для нормально распределенных величин, превышающих 3практически невозможны, менее 3существенны (см. табл. 3).

2.3 Функции от случайных величин

2.3.1 Функции от одного случайного аргумента

Рассмотренные нами основные законы распределения случайных величин, в чистом виде, встречаются не так уж и часто. Область их применения можно значительно расширить, если случайные величины, описывающие случайные явления, выражать через функцию от других случайных величин или хотя бы, через неслучайную функцию одной случайной величины.

Пусть, например, нас интересует распределение случайной величины , которая связана функционально со случайной величинойпо формуле, для которой функция распределенияF_(x) известна. Задача состоит в нахождении функции распределения случайной величины, где

,.

В некоторых случаях решение задачи может быть получено из здравого смысла, которое должно быть проверено формально.

Пример. Дискретная случайная величиназадана законом распределения

	-1	0	1
р

Построить закон распределения случайной величины .

Решение. Случайная величинанеотрицательна и, очевидно, принимает два значения. Закон распределения имеет вид:

	0	1
р

Замечание. Законы распределения для случайных величиниразличны. Это означает, что. В самом деле, слева мы над случайной величиной произвели неслучайную математическую операцию: возведение в квадрат и получили два значения, а справа стоит произведение двух случайных величин. Эта случайная величина, для которой имеем три различных значения. Закон распределения имеет вид:

	-1	0	1
р

Рассмотренный пример демонстрирует подход построения закона распределения для функции одного случайного аргумента дискретной случайной величины.

Проведем построение функции распределения случайной величины , являющейся функцией случайной величины, с заданным распределениемF_(х).

Определение. Пусть функцияу=хстрого монотонна в областих)уУ), где символ «» читается как «и».

Функция ^-1 называется обратной к, если она определена на множествеУи

.

Если  хвозрастающая иху, тох^-1у, если хубывающая, то.

Рассмотрим случайную величину с функцией распределенияF_хи плотностью_х. Пустьу= хстрого монотонная и дифференцируемая, вместе со своей обратной, функция. Пусть случайная величина. Требуется найтиF_уи_у, гдеуУ - значения случайной величины.

По определению, имеем

F_ у=Ру, тогда, если хвозрастающая, то

Р у=Р  ^-1у.

Отсюда

F_у=F_ ^-1(у)),

или

.

Для плотности получаем:

. (42)

Если  х- убывающая, то

, но тогда.

Отсюда

.

Для плотности, аналогично, получаем

(43)

Учитывая, что производная убывающей функции отрицательна, правая часть (43) положительна.

Объединяя (42) и (43), получаем:

(44)

Пример.Пусть случайная величинаимеет функцию распределенияF_(х), а случайная величина, , R.

Найти F_ (y) и_ y, гдеу– значение случайной величиныиз области У.

Решение. Если, функцияу=хвозрастающая, тогда

,

отсюда

Если  , тоу=х +- убывающая, тогда

,

отсюда

.

Учитывая (44), для плотности получаекм

.

Пример. Пусть случайная величинаимеет экспоненциальное распределение,х. Найти распределение случайной величины=е^-,.

Решение. Имеем

F_(y) =P y=Pe^-y.

Если у0, то событиеневозможно, тогдаF_(y) = 0. Еслиу1, то событие- достоверное, тогдаF_ (y) = 1.

Пусть теперь у, тогда

.

Таким образом, с учетом того, что имеем,