Пример 5. Сколько существует размещений с повторениями при выборкеkшаров изn?

Решение. Так как по определению любой изkшаров в размещениях может быть повторен от 1 доkраз, то всего вариантов выбора естьn^k, то есть имеет место простой случайный выбор (см. пример 1).

Пример 6.Сколько существует сочетаний с повторениями при выбореkшаров изn?

Решение. Расположимn шаров на прямой и ограничим их слева и справа вертикальными черточками | 00 ... 0| (шару соответствует 0).

Возьмем еще (k-1) черточку и произвольно распределим черточки между шарами, причем, между соседними шарами может находиться одна или более черточек. Интерпретируя две соседние черточки как ящик, получим, что число шаров между соседними черточками – это число повторных шаров в ящике. Перечисляя возможные расположения (k- 1) черточек между шарами, получим число сочетаний с повторениями.

Итак, задача свелась к следующей: имеется (n+k - 1) – мерный вектор, координаты которого состоят изnшаров и (k - 1) черточек. Так как число способов расположения (k - 1) черточек по (n+k- 1) месту равно (см. пример 4), то это и есть искомое число вариантов выбораkшаров изnс повторениями.

Замечание. Формула сочетаний с повторениями используется, например, при подсчете числа решений (в целых числах, включая ноль) диофантова уравнения

.

Число mчастных производных порядкаkот функцииnпеременных также вычисляется по формуле .

Приведем некоторые свойства сочетаний.

Рассмотрим бином Ньютона

, (1)

где , 0! = 1.

Благодаря формуле бинома Ньютона, сочетания иногда называют биномиальными коэффициентами.

Если в (1) а=b = 1, то получаем

,

если а= -b, будем иметь

.

Если kn, то для вычисления сочетаний имеем формулу

.

В самом деле,

._▼

Отсюда следует, что

.

Для любого целого kиnимеем

.

В самом деле,

._▼

Пример 7. В урне находятсяnпронумерованных шаров, из которыхk красные и (n -k) черные. Наудачу выбираем без возвращенияr шаров. Сколько различных выборок объемаrможно получить, если среди выбранныхrшаровs– красных?

Решение. Разделим урну условно на две половины так, что в одной находятсяkкрасных шаров, а в другой (n-k) черных. Средиkкрасных шаровsшаров можно выбрать способами, а среди (n-k) черных шаров (r–s) шаров можно выбрать способами. Поскольку на каждую фиксированную выборку красных шаров приходится выборок черных, то всего выборок объемаrбудет ,.

Замечание.Если в предыдущей задаче мы выбирали быrшаров изn без учета их цвета, то всего различных выборок было бы . С другой стороны, если учесть все возможные варианты выбора красных шаровs, то получаем, что всего их будет .

Таким образом, имеем формулу

.

1.3 Вычисление вероятностей событий

Для вычисления вероятности Р А события А   необходимо построить математическую модель изучаемого объекта, которая содержит событие А. Основой модели является вероятностное пространство (,ℱ,Р), где  - пространство элементарных событий , ℱ – класс событий с введенными над ними операциями композиции, р = Р {A} – вероятность любого события А, имеющего смысл в  и входящего в класс событий ℱ 25. Если, например, , то из аксиомы 3, вероятностей, следует, что

Таким образом, вычисление вероятности события А, сведено к вычислению вероятностей элементарных событий, его составляющих, а так как они являются «базовыми», то методы их вычисления не обязаны зависить от аксиоматики теории вероятностей.

Здесь рассмотрены три подхода к вычислению вероятностей элементарных событий:

1. классический;

2. геометрический;

3. статистический или частотный.