Раздел 3. Интегральное исчисление

Тема 3.1. Нахождение неопределенных интегралов.

Умения и навыки, которые должны приобрести обучающие: находить неопределенный интеграл непосредственным интегрированием; методом подстановки, методом интегрирования по частям.

Повторение теоретических основ:

1. Определение неопределенного интеграла.

2. Свойства неопределенного интеграла.

3. Таблица основных формул интегрирования.

4. Непосредственное интегрирование. Приемы непосредственного интегрирования.

5. Метод подстановки при нахождении неопределенных интегралов.

6. Формула интегрирования по частям.

7. Примечание к методу интегрирования по частям: два типа неопределенных интегралов, выбор «u» и «dv».

Задание №4

Найти неопределенный интеграл:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

Тема 3.2. Определенный интеграл. Решение задач прикладного характера с применением определенного интеграла.

Умение и навыки, которые должны приобрести обучаемые: решать задачи на вычисление работы переменной силы; пути, пройденного телом при неравномерном движении; находить площади фигур с помощью определенного интеграла.

Повторение теоретических основ:

1. Определение определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

2. Свойства определенного интеграла.

3. Методы интегрирования.

4. Вычисление работы переменной силы , вызвавшей перемещение от до .

5. Вычисление пути, пройденного телом при неравномерном движении, за промежуток времени от до , если задан закон движения тела .

6. Что называется криволинейной трапецией?

7. Вычисление площади криволинейной трапеции.

8. Вычисление площади фигур.

Задание №5

Вычислите определенные интегралы.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

Задание №6

1. Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 8 см, если для сжатия ее на 1 см нужно приложить силу в 10 Н .

2. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v=3t²­ +21t­,м/c. Вычислить путь, пройденный точкой за 5 секунд после начала движения.

3.Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными уравнениями:

а) y= x²-2x+3 и y=x+3.

4. Скорость прямолинейного движения тела задана уравнением V = 9t – 20t, м/с. Вычислите его путь, пройденный за четвертую секунду.

5. Вычислите работу, которую нужно совершить при растяжении пружины на 8 см., если сила 3Н растягивает пружину на 1 см.

6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х² – 2х + 1 и у = 1 + х.

7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = – х² – 5х + 3 и у = 3.

8. Сила 6 Н растягивает пружину на 8 см. Какую работу она производит?

9. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х² – 3х + 4 и у = 4

10. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = 3х – х² и у = 0