2. Теорія похибок вимірювань

2.1. Похибки вимірювань.

Будь-які геодезичні роботи передбачають вимірювання віддалі, перевищення, кута, площі та інше з відповідними вимогами до їхньої точності. У процесі виконання цих вимірювань виникають похибки, які у багатьох випадках суттєво впливають на якість кінцевих результатів. В основному похибки обумовлюються якістю геодезичних вимірювань та розрахунків.

Різнобічне вивчення похибок вимірювань дає змогу завчасно розраховувати точність геодезичних вимірювань у визначених умовах і підготувати необхідні прилади для даного виду роботи.

Вимірювання бувають безпосередні і посередні. При посередніх вимірюваннях необхідні дані одержують з результатів математичної залежності від вимірюваних значень. За своїм характером і властивостями вимірювання бувають рівноточними і нерівноточними.

Якщо вимірювання виконуються приладами різної точності, різними методами, різною кількістю повторень, при різних умовах навколишнього середовища, тощо, то вимірювання і результати називаються нерівноточними.

Щоб визначити значення деякої величини, достатньо виконати вимірювання один раз. Таке вимірювання називається необхідним. Всі вимірювання виконані більше одного разу, називаються надмірними або додатковими. Надмірні вимірювання дозволяють контролювати результати необхідного вимірювання і, крім того, вони дають найбільш достовірне значення вимірюваної величини.

Виміряти будь - яку величину абсолютно точно неможливо, а тому виникає різниця між виміряними і дійсним значенням величини. Ця різниця і є похибкою вимірювання, яку можна виразити формулою:  = L - , де

L- виміряне знаення величини;

 - дійсне значення величини

Дійсну похибку називають абсолютною похибкою. Якщо необхідно знати яка з виміряних величин визначена точніше, що краще користуватися не абсолютною, а відносною похибкою, тобто відношення дійсної похибки до виміряної величини  = / L .

Наприклад: виміряно лінію в прямому і зворотному напрямках і одержано такі результати: Lпр. = 124,56; Lзв. = 124,62 м. Необхідно визначити абсолютну похибку L, відносну похибку  і середнє значення довжини лінії, якщо відносна похибка не перевищує допустимого значення.

Примітка. Відносна похибка вважається допустимою, якщо вона неперевищує для місцевості першої категорії 1 / 2000, другої категорії 1 / 1500, третьої категорії 1 / 1000 довжини лінії.

Рішення. Абсолютну похибку визначаємо як різницю двох вимірювань: L = 124,62 - 124,56 = 0,06 м.

Знаходимо відносну похибку.

 =L / Lсер._. = 0,06 / (124,56 + 124,62) : 2 = 0,06 / 124,59 = 1 / 124,59 : 0,06 =

= 1 / 2076

Висновок. Відносна похибка відповідає вимозі 1 / 2076  1 / 2000, а це означає, що вимірювання виконані з достатньою точністю для місцевості першої категорії.

Приклад. Дано дві лінії з дійсним значенням X₁ = 150,70 м і X₂ = 480,60 м. Виміряли ці лінії і одержали їх значення L₁ = 150, 84 м і L₂ = 480,88м.Абсолютні похибки вимірювань дорівнюють: для першої лінії L₁ = 150,84 - 150,70 = 0,14 м, для другої лінії L₂ = 480,88 - 480,60 = 0,28 м. Необхідно розрахувати відносні похибки і визначити яка з ліній виміряна точніше.

Рішення:

₁ = 0,14 / 150,70 = 1 / 1076; ₂ = 0,28 / 480,60 = 1 / 1716;

Висновок. Друга лінія виміряна точніше тому що 1 / 1716  1 / 1076

Таблиця 2

Визначити абсолютну і відносну похибки виміряних ліній

і вказати яка з ліній виміряна точніше.

Шифр	Категорія місцевості
	I		II		III
	Значення ліній
	дійсне	виміряне	дійсне	виміряне	дійсне	виміряне
1; 9;	124,20 378,42 526, 74	124,26 378,24 526,98	146,81 352,38 544,17	146,90 352,38 560,48	132,57 326,70 560,48	132,45 326,98 560,37
2; 8;	87,56 259,60 480,72	87,60 256,49 480,91	94,60 240,72 435, 50	94,54 240,87 435,78	82,50 193,62 350,71	82,58 193,43 950,40
3; 7;	140,50 290,62 430,25	140,56 290,76 430,44	125,60 245,42 516,74	125,52 245,57 517,04	134,60 320,25 462,46	134,73 319,95 462,85
4; 6;	122,50 256,65 481,43	122,56 256,53 481,65	155,50 320,50 470,50	155,59 320,70 470,80	130,71 282,45 534,58	130,50 282,70 534,13
5; 0;	92,45 285,56 536,15	92,41 285,75 536,40	112,64 346,56 572,15	112,71 346,46 572,26	138,47 305,64 515,29	138,35 305,93 515,75