Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Уравнение вида:
,
где
-
заданные непрерывные функции от х,
называется линейным
неоднородным
дифференциальным уравнением второго
порядка, а соответствующее ему уравнение:
- линейным однородным.
Если
и
- какие-нибудь два линейно независимых
частных решения однородного
дифференциального уравнения второго
порядка, то его общим решением служит
функция:
.
Функции
и
называются линейно
независимыми,
если при постоянных
и
тождество
выполняется тогда и только тогда, когда
Если же хотя бы одна из них отлична от
нуля, а тождество
возможно, то эти решения
и
называются линейно
зависимыми.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего ему линейного однородного дифференциального уравнения:
,
где
- частное решение неоднородного, а
- общее решение однородного уравнения.
Пусть требуется решить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:
,
в
котором
и
- постоянные величины.
Найдём
частные решения дифференциального
уравнения в виде
.
Тогда
,
.
Подставив выражения
,
и
в исходное уравнение, получим:
.
Так
как
,
то получим уравнение
,
которое называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.
Таким
образом,
является частным решением линейного
однородного дифференциального уравнения
второго порядка, если
- корень характеристического уравнения.
В зависимости от дискриминанта корни характеристического уравнения могут быть:
1)
действительными и различными
,
тогда частные решения
и
,
а общее решение:
,
2)
действительными и равными
,
тогда частные решения
и
,
а общее решение:
,
комплексными
,
,
тогда частные решения
и
,
а общее решение:
.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка:
,
в котором и - постоянные величины, находится как:
,
где - частное решение неоднородного, а - общее решение однородного уравнения.
,
Общее
решение однородного уравнения, как
известно, находится с помощью
характеристического уравнения, а частное
решение неоднородного уравнения
находится в зависимости от вида функции
.
Если
есть многочлен
-ой степени:
,
в
частности, многочлен второй степени
(
),
то частное решение неоднородного
уравнения ищется
в виде:
а)
при
и
;
б)
при
и
;
в)
при
и
неоднородное
дифференциальное
уравнение принимает вид:
,
решение которого находится непосредственным
двукратным интегрированием, т.е.
,
затем,
.
Если - показательная функция, т.е.
(
),
то частное
решение неоднородного
уравнения ищется
в виде:
а)
,
если коэффициент
не является корнем характеристического
уравнения, т.е.
;
б)
,
если коэффициент
является однократным корнем
характеристического уравнения, т.е.
;
в)
,
если коэффициент
является двукратным корнем
характеристического уравнения, т.е.
.
3.
Если
- тригонометрическая функция, т.е.
,
то частное решение неоднородного
уравнения ищется
в виде:
а)
,
если
;
б)
если
,
а
.