Системы линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим применение матриц и определителей для исследования и решения системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными x, y, z .

(1)

Коэффициенты а₁, а₂, а₃, b₁, b₂ , b₃, c₁, c₂ c₃ и свободные члены h₁, h₂, h₃ считаются заданными.

Тройка чисел x₀, y₀, z₀ называется решением системы (1), если в результате подстановки этих чисел вместо x, y, z все три уравнения (1) обращаются в тождества.

Основную роль играют следующие четыре определителя:

, , , .

Определитель  называется определителем системы (1). Определители _x, _y, _z получаются из определителя  заменой свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.

Возможны следующие случаи.

Случай 1 (0). В этом случае существует единственное решение системы, и оно может быть найдено по следующим формулам, которые называются формулами Крамера.

Случай 2 (). В этом случае решение системы может не существовать или система может иметь бесконечное число решений. Например, система

\не имеет решения, а система

имеет бесконечное число решений.

Также на лекции будут разобраны другие методы решения систем линейных уравнений, а именно методы Гаусса и обратной матрицы.

Лекция 3

Векторы. Линейные операции над векторами.

Вектор. Длина вектора. Вектором называется направленный отрезок. Вектор характеризуется двумя величинами: длиной и направлением. Также вектор можно задать указав его начало и конец. Векторы обозначают следующим образом: AB,a .

Вектор начало и конец, которого совпадают, называется нулевым. Векторы а и в называются коллинеарным, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Векторы а и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.

Если вектор задан началом А(х₁,у₁) и концом В(х₂;у₂), то координаты вектора АВ можно определить так АВ

Длина вектора АВ определяется как расстояние между двумя точками:

(1)

Пусть задана ось И и некоторый вектор АВ. Проекцией вектора АВ на ось И называется величина АВна оси И. Проекция вектора АВ на ось И равна длине вектора АВ, умноженной на косинус угла между вектором АВ и осью И, т.е.

Пр_и (2)

Направляющими косинусами вектора а называются косинусы углов между вектором а и осями координат. Направляющие косинусы вектора а можно определить по формулам

Векторы можно складывать, вычитать и умножать на число.

Определение 1. Суммой называется вектор, который идет из начала вектора в конец вектора при условий, что вектор приложен к концу вектора .

Определение 2. Разностью векторов и называется вектор, который в сумме с вектором дает вектор .

Определение 3. Произведением называется вектор, который коллинеарен вектору , имеет длину, равную и направление такое же, как и вектор , если >0 и противоположное, если <0.

Пусть даны векторы и . Тогда сумма векторов в координатной форме записывается

,

разность векторов

,

умножение вектора на число 

.